巧用函數的凹凸性，妙解一類曲線切線題

文/深圳市龍崗區龍城高級中學 郭朋貴

近幾年高考全國卷中，曲線的切線是高考的高頻考點。筆者所在學校的最近一次數學測試中，有如下題目（多選題）：

D.當a=2，b＞0 時，有且只有一條切線

此題如果用常規解法設切線再去求解，無異于做一道解答題，耗時頗多，可不可以小題小做呢？筆者不禁聯想到之前研究三次函數切線條數問題，希望從中得到啟發.

一、解法探究

關于三次函數的切線條數問題，有如下結論：點P（x0，y0）為三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）所在平面上一點.設函數f（x）的圖像在拐點處的切線為l.則有：

如圖1，若點P 位于區域I 和區域II 內可作1 條切線；若點P 位于區域III 和區域IV 內可作3 條切線；過拐點N 可作一條切線；若點P 在曲線y=f（x）和切線拐點N 處切線l（點N除外）上，可作2 條切線.此結論省略證明，有興趣的讀者可自行證之.

圖1

由可以看出，三次函數圖象和其拐點處的切線將平面劃分為4 個區域，各區域內的切線條數、曲線和拐點處的切線上切線條數均可以由數形結合直接得出結果. 題目1 會不會也有類似的結果呢？

設過點（a，b）且與曲線y=f（x）相切于點（x0，f（x0））的切線方程為y= f'（x0）（x－x0）+ f（x0），則b =，則過點（a，b）可做切線條數問題等價于函數y=b 與y=g（x）圖象交點問題。，且x→－∞，f（x）→+∞;x→+∞，f（x）→0.x 軸為g（x）的漸近線，g（2）=.則有：①a≤0 時，g（x）在（-∞，a），（2，+∞）上單調遞減，在（a，2）上調遞增＞0.若b＜g（a），0 條切線；若b=g（a）或b＞h（a），1 條切線；若g（a）＜b≤0，2 條切線；若0＜b＜h（a），3 條切線.

②0＜a＜2 時，g（x）在（-∞，a），（2，+∞）上單調遞減，在（a，2）上調遞增。＞0，g（2）=h（a）=＞0.若b≤0，0 條切線；若0＜b＜g（a）或b＞h（a），1 條切線；若b=g（a）或b=h（a），2 條切線；若g（a）＜b＜h（a），3 條切線.

③a=2 時，g（x）在（-∞，+∞）上單調遞減，g（a）=g（2）=h（a）.若b≤0，0 條切線；若b＞0，1 條切線；

④2＜a≤4 時，g（x）在（-∞，2），（a，+∞）上單調遞減，在（2，a）上調遞增.g＞0，g（2）=h（a）=若b≤0，0 條切線；若0＜b＜h（a）或b＞g（a），1 條切線；若b=g（a）或b=h（a），2 條切線；若h（a）＜b＜g（a），3 條切線.

⑤a＞4 時，g（x）在（-∞，2），（a，+∞）上單調遞減，在（2，a）上調遞增＜0.若b≤h（a），0 條切線；若b=h（a）或b＞g（a），1 條切線；若h（a）＜b ≤0 或b=g （a），2 條切線；若0＜b＜g（a），3 條切線.

根據以上結論，我們可得出如下結論：

圖2

題目1 所得結論與三次函數結論既有相似之處又有不同，三次函數沒有漸近線，而題目1 中的函數有一條漸近線，這使得區域劃分更加復雜，也為我們數形結合快速解題指明了方向.

二、數形結合圖解切線條數問題

例1：已知函數f（x）=x3-3x，a＞0，如果過點A（a，2）可作曲線y=f（x）的三條切線，則a 的取值范圍為____.

圖解：f'（x）=3x2-3，f''（x）=6x，f（x）有唯一拐點（0，0），在拐點處的切線方程為：y=-3x，且在（-∞，0）為凹函數，（0，+∞）為凸函數.如圖3 所示，由圖可得答案：a＞2.

圖3