固本探源,突破瓶頸,提高效益
——基于“三新”背景下的高考一輪復習策略

江蘇省宿遷中學 王嘉琨

在新教材(人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過)、新課程(《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂》)、新高考的“三新”背景下,高考堅持核心素養導向,倡導數學關鍵能力,注重數學創新意識與創新應用.基于“三新”背景下的高考數學一輪復習,要切實貫徹與落實高考改革的考查要求,因此,綜合高效復習就變得尤其重要.

1 回歸高中教材,探究知識本源

新高考不再有《考試大綱》的局限與限制,高中數學教材成為高考的主要依據之一.通過近幾年的新高考數學試卷可以發現,高中數學教材是高考數學試題的命題來源與知識基礎,是高考能力題的立足點與生長點.高考數學試題就是對高中數學教材的橫向優化,形成知識的聯系與交匯;同時也是高考中數學教材的縱向深化,滲透核心素養,考查數學能力.

例1〔人教版《數學》(選擇性必修二冊)第94頁練習第2題〕證明不等式:x-1≥lnx,x∈(0,+∞).

以上重要不等式及其他一些相關的結論,如(1)ex>x+1(x≠0),(2)lnx0),在證明不等式,判斷大小關系以及其他綜合問題中,可以進行巧妙應用或通過再加工來綜合,往往是新高考中一些創新試題的知識本源所在.如:

A.a

C.c

綜上分析,可知c

因而,高考數學一輪復習教與學的過程中,一定要緊緊抓住教材,任何階段都不能脫離教材,通過對教材中的基礎知識、基本方法與典型例(習)題加以總結與提煉,進而形成數學知識“串”,構建數學問題“鏈”,從而更加深入地探究高考數學命題的本源,全面開展一輪復習與教學.

2 鉆研高考真題,挖掘命題規律

合理鉆研近年新高考數學真題,切實領會高考試題的設計思路、考查要點與考查意圖等,從中探尋高考命題的變化、創新與規律,更好地服務高考數學復習的教與學,進而合理改變教與學過程中由全面覆蓋、盲目備考轉向抓住主干、精準備考.

A.tan(α+β)=1 B.tan(α+β)=-1

C.tan(α-β)=1 D.tan(α-β)=-1

分析：根據題設條件,結合三角函數關系式的結構特征,先利用兩角和與差的公式加以展開,使得復雜角轉化為簡單角,然后結合變形所得的三角函數關系式,利用兩角和與差的公式進行“逆向”轉化,再進行三角函數式的變形與求值.

整理,可得sinαcosβ-cosαsinβ=-cosαcosβ-sinαsinβ,即sin(α-β)=-cos(α-β).

所以tan(α-β)=-1.故選擇答案:D.

點評：三角函數問題,一直是新高考中考查的一個基本知識點.常規方法是利用三角函數中相關的公式,如三角恒等變換公式、輔助角公式、和差化積公式與積化和差公式等加以變形與轉化,或者利用特殊值、整體驗證等思維方式來處理.

3 強化變式訓練,提高復習效益

高考復習不是新授課,要精心挑選典型例題與配套的習題,注意總結解題規律,并從中提煉出對應的數學思想方法,使學生能舉一反三,融會貫通,觸類旁通,形成從數學基礎到數學綜合,從解題模仿到變式拓展,從變式練習到創新應用的層層遞進,多層面、多視角、螺旋式步步提升,真正有效提高高考數學復習效益.

分析：根據題設條件與所求結論中a,c具有輪換性,采用兩邊長相等的特殊化處理,通過余弦定理確定對應角的余弦值,結合同角三角函數基本關系式與二倍角公式加以變形與轉化,進而得以求值.本題可以借助“一題多解”的方式繼續展開,這里從略,在此基礎上還可以進一步變式與拓展.

點評：由解三角形問題,聯想到圓錐曲線與平面幾何問題,產生良好的效益.結合高考數學真題,探究高考命題變化與命題改革,巧妙貫徹數學創新與數學應用,滲透創新應用場景與數學文化,結合典型數學問題進行變式訓練與拓展創新,回避題海戰術,全面提升高考數學復習效益.

4 滲透數學文化,突破應用瓶頸

2022年的新高考數學試卷中出現了南水北調工程、地方性疾病與當地居民的衛生習慣、中國古代建筑、流行病學調查等數學文化創新問題,與新課標所強調的“創新性、應用性”相吻合.隨著新高考的逐步深入,社會實踐的應用、數學文化的滲透等應用型問題情境已經成為高考的一類必考題.

例4某艦隊為慶祝軍艦入列10周年,艦隊官兵舉行了盛大的慶祝儀式,在艦上布置了彩旗(如圖1),掛彩旗的繩子長100 m,繩子固定在艦島上高度均為16 m、相距28 m的兩處艦橋的AB和CD的端點A和C處,并在甲板上E處繃緊,已知繩子和兩艦橋在同一平面內,則甲板上E點到艦橋AB的距離為______m.

圖1

分析：基于現實生活中應用場景,滲透數學文化,理解題目條件,合理構建平面直角坐標系,抓住兩線段和為定長,結合橢圓的定義,正確構建相關點滿足的軌跡方程,進而得以解決實際應用問題.

解析：如圖2所示,以AC所在直線為x軸,AC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系,則有A(-14,0),C(14,0),B(-14,-16),D(14,-16).

圖2

依題可知|AE|+|CE|=100>28.

點評：新高考背景下,中國古代數學典籍與文明創造、現代科學發展與技巧、社會進步與生活場景等各方面的創新應用都巧妙融入到了高考數學試卷中,以各種形式融合相關數學知識加以應用,巧妙達到滲透創新意識與創新應用的目的.

在新教材、新課程、新高考的“三新”背景下,合理回歸高考數學教材,扎根數學基礎知識,構建數學體系結構,結合高考數學真題,探究高考命題變化與命題改革,貫徹數學創新與數學應用,滲透創新應用場景與數學文化,結合典型數學問題進行變式訓練與拓展創新,回避題海戰術,進而全面提升高考數學復習效益.