函數奇偶性,解題妙應用

江蘇省海安高級中學 許 陳

函數的奇偶性是函數的基本性質之一,反映了函數圖象的對稱性特征,同時兼備函數自身中“數”與“形”的雙重性質,是研究數學的一個基本工具,也是歷年高考數學試卷中比較常見的一個重要知識點.同時,函數的奇偶性又可以很好地交匯與融合函數的基本知識,以及數學中的其他基本知識點,是充分體現高考“在交匯知識點處命題”指導思想的重要平臺,倍受各方關注.

1 結合奇偶性確定函數值

直接利用函數的奇偶性求解函數值及其相關應用是比較常見的一類問題,難度比較小,關鍵是合理應用函數奇偶性加以分析、轉化與處理.

例1已知函數y=f(x)是R上的奇函數,當x>0時,滿足f(x)=x2-2x-1,則f(-3)的值是______.

分析：結合奇函數的定義,合理構建關系式f(-x)=-f(x),取特殊值代入得到f(-3)=-f(3),即可求解.

解析：由于函數y=f(x)是奇函數,則利用函數的奇偶性的定義,可知

f(-3)=-f(3)=-(32-2×3-1)=-2.

故填答案:-2.

點評：以上問題還可以先由f(3)=32-2×3-1=2,再結合函數y=f(x)是奇函數,可得f(-3)=-f(3)=-2.正確把握函數的奇偶性,以及對應的自變量與函數值之間的關系,是分析與解決此類問題的關鍵所在.

2 結合奇偶性確定函數解析式

直接利用函數奇偶性的定義,得到所對應的函數解析式之間的關系f(-x)=-f(x),或f(-x)=f(x),前者是奇函數的基本性質,后者是偶函數的基本性質,進而通過已知函數解析式的變形與轉化,可以很好地確定一些相關函數的解析式問題.

例2已知函數f(x)是奇函數,且當x>0時,f(x)=x|x-2|,求當x<0時,函數f(x)的解析式.

分析：結合奇函數的定義,得到關系式f(-x)=-f(x),通過已知解析式的合理轉化,確定x<0時f(x)的解析式.

解析：當x<0時,-x>0,則有

f(-x)=-x|(-x)-2|.

又因為f(x)為奇函數,所以f(x)=-f(-x)=x|(-x)-2|=x|x+2|.

故當x<0時,f(x)=x|x+2|.

點評：利用函數奇偶性的定義來解決一些相關的函數解析式問題時,關鍵要注意函數自變量的正負取值情況以及變量之間的對應關系,合理替代,巧妙代換,通過整體思維、對應思維來分析與應用,從而解決一些涉及函數解析式以及對應的應用問題.

3 結合奇偶性判斷函數圖象

利用函數基本性質奇偶性,通過結構特征來判斷與之對應的函數圖象的對稱性問題,是函數奇偶性的一個非常直觀形象的應用,可以便捷且直觀地從函數圖象來確定與函數奇偶性對應的性質[1].

例3函數f(x)=x·ln|x|的圖象可能是( ).

分析：結合條件中給出的函數解析式來分析與判斷已知函數的奇偶性,通過函數的奇偶性所對應的圖象的對稱性來分析排除相關的選項;在此基礎上利用特殊點進一步合理排除相關的選項,巧妙判斷.

解析：對于函數f(x)=x·ln|x|,由于f(-x)=-x·ln|-x|=-x·ln|x|=-f(x),則知函數f(x)=x·ln|x|是奇函數,可以排除選項A,C;

故選擇答案:D.

點評：具體判斷函數的圖象以及相關問題時,可以借助函數的奇偶性來判斷整個函數圖象的對稱性問題,而具體的一些細節,還要綜合特殊函數值的確定、函數的極值與最值以及其他的一些基本性質與特征來綜合處理.

4 結合奇偶性求解最值

函數的奇偶性具有一定的對稱性與反射性,由此可以通過函數圖象的對稱性與對應的函數值來解決一些與之相關的函數最值問題,從而判斷一些與最值有關的函數問題[2].

例4若f(x)和g(x)都是奇函數,且F(x)=f(x)+g(x)+2在(0,+∞)上有最大值8,則在(-∞,0)上F(x)有( ).

A.最小值-8 B.最大值-8

C.最小值-6 D.最小值-4

分析：先根據條件確定函數關系式f(x)+g(x)的最大值,結合函數f(x)和g(x)都是奇函數,可以確定函數f(x)+g(x)在(-∞,0)上的最小值,進而確定函數F(x)在對應區間上的最小值問題.

解析：根據題意可知函數f(x)+g(x)在(0,+∞)上有最大值6.

又因為函數f(x)和g(x)都是奇函數,所以函數f(x)+g(x)是奇函數,則函數f(x)+g(x)在(-∞,0)上有最小值-6,即函數F(x)在(-∞,0)上有最小值-6+2=-4.

故選擇答案:D.

點評：在實際求解一些相關函數的最值問題時,經常要借助函數在相應區間上最值的確定,以及函數奇偶性的判定,從而綜合交匯,創新應用.當然,具體解決問題時,可以借助特殊函數(如一次函數等)來直觀分析,更加簡單快捷來處理此類函數最值問題、函數對稱性問題等.

5 結合奇偶性求解不等式

在解決一些抽象函數對應的不等式問題時,經常要借助函數的奇偶性等基本性質及結構特征來巧妙轉化,進一步確定所要求解的不等式,這是解決問題的關鍵所在.在一些具體應用中,經常要與函數的解析式、單調性以及其他的相關知識加以交匯與融合,從而實現問題的創新性、綜合性與應用性[3].

例5已知函數f(x)=x3-2x+ex-e-x,其中e是自然對數的底數,若f(a-1)+f(2a2)≤0,則實數a的取值范圍是______.

分析：根據函數奇偶性的定義來確定函數f(x)是奇函數,為進一步的變形與轉化相應的不等式提供條件,利用求導處理以及基本不等式的應用來確定函數的單調性,從而巧妙轉化不等式,進而通過解一元二次不等式來確定參數的取值范圍問題.

解析：由函數f(x)=x3-2x+ex-e-x,可得f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x-ex=-x3+2x-ex+e-x=-f(x).

又x∈R,所以f(x)=x3-2x+ex-e-x是奇函數.

點評：此題中,巧妙融入高次函數、指數函數以及抽象函數類型,融合函數的奇偶性與單調性、導數及其應用、基本不等式以及二次不等式的求解等相關內容.其中確定函數的奇偶性是關鍵,為進一步的變形與轉化指明方向,是解決問題的一個重要切入點.

其實,歷年高考數學試卷中,往往離不開對函數奇偶性的考查,有時直接設置相關題目,有時隱含在其他數學問題中,形式各樣,變化多端.此類涉及函數奇偶性的問題通常以小題(選擇題或填空題)為主,難度中等及偏下,有時單獨考查函數的奇偶性,有時將函數相關概念與與函數的奇偶性加以綜合,有時還融入其他模塊知識,實現知識點間的交匯與融合.抓住函數奇偶性的定義及對應的函數的圖象性質,合理總結規律,巧妙綜合,創新應用.