借助等差中項(xiàng),妙解三角函數(shù)

江蘇省南通市海門(mén)區(qū)證大中學(xué) 張志華

對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)是一類(lèi)意義重大、美感十足的原始模型,在建筑學(xué)、數(shù)學(xué)、藝術(shù)等方面,對(duì)稱(chēng)都是其中一類(lèi)非常典型的美.而在三角函數(shù)及其相關(guān)知識(shí)的綜合與應(yīng)用中,經(jīng)常借助題設(shè)條件與結(jié)論中的不同角、不同三角關(guān)系式,以及對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征,以對(duì)稱(chēng)的方式,借助等差中項(xiàng)的構(gòu)建,呈現(xiàn)出全新的角與角、式與式之間的關(guān)系等,使得問(wèn)題往往變得更加直觀(guān)易懂,方便求解與應(yīng)用[1].

1 利用角的對(duì)稱(chēng)構(gòu)建等差中項(xiàng)

利用不同角之間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系,合理構(gòu)建其相應(yīng)的等差中項(xiàng),引入第三個(gè)角,結(jié)合角之間的關(guān)系進(jìn)行合理變形與轉(zhuǎn)化,有時(shí)對(duì)于三角函數(shù)及其相關(guān)問(wèn)題的破解有奇效,方向性強(qiáng),直達(dá)目標(biāo).

點(diǎn)評(píng)：抓住題設(shè)中兩個(gè)不同的角與結(jié)論中所求的角,三者之間恰好構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,構(gòu)建等差中項(xiàng),引入對(duì)應(yīng)的參數(shù)角,借助三角恒等變換公式可以快捷達(dá)到目的.

2 利用式的對(duì)稱(chēng)構(gòu)建等差中項(xiàng)

利用不同三角關(guān)系式之間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系,合理構(gòu)建等差中項(xiàng),結(jié)合等差數(shù)列的概念與性質(zhì),合理引入?yún)?shù),利用三角關(guān)系式的變形,結(jié)合三角函數(shù)及其相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用來(lái)變換,實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的突破與求解.

點(diǎn)評(píng)：抓住題設(shè)中同角的正弦值與余弦值之和為常數(shù)的條件,合理構(gòu)造等差數(shù)列,借助公差這一參數(shù)的引入,合理?yè)Q元處理,結(jié)合相關(guān)的三角函數(shù)關(guān)系式來(lái)轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.正確識(shí)別并快速反應(yīng),合理根據(jù)題目三角函數(shù)關(guān)系式聯(lián)想到等差數(shù)列,巧妙引入等差中項(xiàng),綜合等差數(shù)列的概念與性質(zhì)來(lái)處理與求解相關(guān)的三角函數(shù)問(wèn)題,出奇制勝.

3 利用問(wèn)題條件構(gòu)建等差中項(xiàng)

結(jié)合問(wèn)題條件,通過(guò)變形處理,利用對(duì)應(yīng)元素之間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系,合理構(gòu)建相應(yīng)的等差中項(xiàng),借助參數(shù)的引入與等差數(shù)列的概念與性質(zhì)等,綜合三角函數(shù)及其相關(guān)知識(shí)來(lái)分析與求解.

分析：根據(jù)題設(shè)中三角關(guān)系式的恒等變形,借助等差中項(xiàng)合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的等差數(shù)列,引入等差數(shù)列的公差d,將tanB與tanC均表示為tanA與d的關(guān)系式,進(jìn)一步利用三角恒等變換公式及函數(shù)的性質(zhì)來(lái)確定tan2A的最值,最后利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式等來(lái)確定相關(guān)的最值問(wèn)題.

點(diǎn)評(píng)：利用解三角形問(wèn)題背景下對(duì)應(yīng)角的三角函數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征與恒等變形,合理構(gòu)建相應(yīng)的等差數(shù)列.借助等差中項(xiàng)的性質(zhì),合理轉(zhuǎn)化解三角形問(wèn)題中的三角關(guān)系式,是解決問(wèn)題的關(guān)鍵步驟,形式特殊,思維巧妙.

4 利用問(wèn)題背景構(gòu)建等差中項(xiàng)

利用問(wèn)題背景,通過(guò)相關(guān)角或式等對(duì)應(yīng)元素之間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系,合理構(gòu)建相應(yīng)的等差中項(xiàng),巧妙引入?yún)?shù),結(jié)合三角函數(shù)及其相關(guān)知識(shí)來(lái)破解對(duì)應(yīng)的開(kāi)放性、探究性等問(wèn)題.

例4(2020年高考數(shù)學(xué)北京卷·14)若函數(shù)f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值為2,則常數(shù)φ的一個(gè)取值為_(kāi)_____.

點(diǎn)評(píng)：結(jié)合三角關(guān)系式中對(duì)應(yīng)角的對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu),借助等差中項(xiàng)引入?yún)?shù),利用函數(shù)關(guān)系式的恒等變形與三角函數(shù)求值的轉(zhuǎn)化,得到一個(gè)獨(dú)特的解法.開(kāi)放性問(wèn)題,開(kāi)放性思維,奇效性構(gòu)建,創(chuàng)新性應(yīng)用,綜合起來(lái),創(chuàng)建一個(gè)優(yōu)美的解決方案,令人稱(chēng)奇.

在一些三角函數(shù)及解三角形等相關(guān)問(wèn)題的破解中,利用題設(shè)條件中角、式結(jié)構(gòu)等方面的對(duì)稱(chēng)關(guān)系,合理借助等差中項(xiàng)的性質(zhì)構(gòu)建對(duì)應(yīng)的等差數(shù)列,巧妙利用等差數(shù)列引入相關(guān)參數(shù),綜合數(shù)列與三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)來(lái)合理交匯,綜合應(yīng)用,實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的巧妙轉(zhuǎn)化,以全新的思維與面貌展示數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)美,數(shù)學(xué)思維的巧妙美[2].