運(yùn)用綜合解題思路解答多項(xiàng)選擇題的探索
——以近年數(shù)學(xué)全國(guó)新高考卷真題為例

江蘇省蘇州市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 錢 寧

選擇題具有“小巧靈活、概括性強(qiáng)、知識(shí)覆蓋面廣、考查容量大、數(shù)學(xué)思想豐富、解題思路廣、有一定的綜合性與深度”等特點(diǎn)[1],是每年高考的重點(diǎn)題型,在高考試卷中數(shù)量大,占分比例高,全國(guó)卷和部分自主命題省份的高考試卷中選擇題占60分(單項(xiàng)選擇題40分,多項(xiàng)選擇題20分).其中,多項(xiàng)選擇題是近年來全國(guó)高考卷中出現(xiàn)的一種新題型,以2022年新高考卷為例,共設(shè)4個(gè)小題,每小題5分,共20分;在每小題給出的A,B,C,D四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目的要求,要全部選對(duì)才能得5分,部分選對(duì)只能得2分,只要有一項(xiàng)選錯(cuò)就不得分(0分).在單項(xiàng)選擇題中,只需要在四個(gè)選項(xiàng)中選一個(gè)正確答案即可,而在多項(xiàng)選擇題中,要在四個(gè)選項(xiàng)中,選出多個(gè)答案,而且要全部選對(duì)才能得滿分.從上述的給分標(biāo)準(zhǔn)和答題的要求來看,其難度可窺見一斑!當(dāng)然,無(wú)論是從試題的整體難度、選項(xiàng)的迷惑性,還是從篩選的復(fù)雜性等相比較,多項(xiàng)選擇題的解答遠(yuǎn)比單項(xiàng)選擇題麻煩,難怪許多考生面對(duì)多項(xiàng)選擇題會(huì)發(fā)出“得分不易失分易”的槪嘆.

不管是單選題還是多選題,它們都是選擇題,其解法既有區(qū)別又有聯(lián)系.當(dāng)然,解答一些較復(fù)雜的多選題時(shí),往往需要綜合運(yùn)用幾種方法.下面重點(diǎn)探索如何運(yùn)用綜合解題的思路來解答多項(xiàng)選擇題.

1 數(shù)形結(jié)合法

例1(2022年新高考Ⅰ卷第9題)已知正方體ABCD-A1B1C1D1,則( ).

A.直線BC1與DA1所成的角為90°

B.直線BC1與CA1所成的角為90°

C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°

D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°

解析：如圖1,連接B1C,BC1.因?yàn)镈A1∥B1C,所以直線BC1與B1C所成的角即為直線BC1與DA1所成的角.因?yàn)樗倪呅蜝B1C1C為正方形,則B1C⊥BC1,所以直線BC1與DA1所成的角為90°.故選項(xiàng)A正確.

圖1

連接A1C,因?yàn)锳1B1⊥平面BB1C1C,BC1?平面BB1C1C,所以A1B1⊥BC1.

因?yàn)锽1C⊥BC1,A1B1∩B1C=B1,所以BC1⊥平面A1B1C.又A1C?平面A1B1C,所以BC1⊥CA1.故選項(xiàng)B正確.

連接A1C1,設(shè)A1C1∩B1D1=O,連接BO.

因?yàn)锽B1⊥平面A1B1C1D1,C1O?平面A1B1C1D1,所以C1O⊥B1B.又C1O⊥B1D1,B1D1∩B1B=B1,所以C1O⊥平面BB1D1D.

因?yàn)镃1C⊥平面ABCD,所以∠C1BC為直線BC1與平面ABCD所成的角,易知∠C1BC=45°.故選項(xiàng)D正確.

故本題答案應(yīng)選:A,B,D.

方法探索：以數(shù)形結(jié)合法為主,充分利用立體幾何知識(shí),通過作圖、分析圖形,綜合使用觀察、對(duì)比、驗(yàn)證、排除等方法依次對(duì)照選項(xiàng)進(jìn)行篩選判斷.

2 公式計(jì)算法

例2(2022年新高考Ⅱ卷第11題)如圖2,四邊形ABCD為正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB,記三棱錐E-ACD,F-ABC,F-ACE的體積分別為V1,V2,V3,則( ).

圖2

A.V3=2V2B.V3=2V1

C.V3=V1+V2D.2V3=3V1

解析：如圖3,設(shè)AB=ED=2FB=2a,因?yàn)镋D⊥平面ABCD,FB∥ED,所以

圖3

連接BD,交AC于點(diǎn)M,連接EM,FM,可知BD⊥AC.又因?yàn)镋D⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以ED⊥AC.又ED∩BD=D,ED,BD?平面BDEF,所以AC⊥平面BDEF.

綜上,2V3=3V1,V3=3V2,V3=V1+V2.

把上述計(jì)算的結(jié)果與選項(xiàng)逐一對(duì)照,發(fā)現(xiàn)選項(xiàng)A,B錯(cuò)誤,選項(xiàng)C,D正確.故本題答案應(yīng)選:C,D.

方法探索：本題主要采用以三棱錐的體積計(jì)算結(jié)果與選項(xiàng)對(duì)照的方法進(jìn)行判斷,求解過程中還綜合運(yùn)用了作圖(添加輔助線)、觀察、證明、對(duì)照比較等方法.

3 各個(gè)擊破法

例3(2022年新高考Ⅰ卷第10題)已知函數(shù)f(x)=x3-x+1,則( ).

A.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.f(x)有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對(duì)稱中心

D.直線y=2x是曲線y=f(x)的切線

令h(x)=x3-x,該函數(shù)的定義域?yàn)镽,h(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-h(x),則h(x)是奇函數(shù),點(diǎn)(0,0)是h(x)的對(duì)稱中心.

將h(x)的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到f(x)的圖象,所以點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對(duì)稱中心.故選項(xiàng)C正確.

令f′(x)=3x2-1=2,可得x=±1.又f(1)=f(-1)=1,則當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時(shí),切線方程為y=2x-1;當(dāng)切點(diǎn)為(-1,1)時(shí),切線方程為y=2x+3.故選項(xiàng)D錯(cuò)誤,排除.

故本題答案應(yīng)選:A,C.

方法探索：本題綜合應(yīng)用了定義法、比較法、驗(yàn)證法、代入法、分析法、排除法等多種方法,采用各個(gè)擊破的策略,一種方法解決一個(gè)選項(xiàng).首先根據(jù)極值點(diǎn)的定義判斷A選項(xiàng)正確;再結(jié)合函數(shù)f(x)的單調(diào)性、極值等判斷B選項(xiàng)錯(cuò)誤;利用函數(shù)圖象的平移判斷C選項(xiàng)正確;根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程判斷D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

從上述的解題探索中可以看出,多項(xiàng)選擇題由于涉及到的知識(shí)點(diǎn)多,很難用單純的某一種方法去解答,很多情況下需要運(yùn)用綜合處理的解題思路,直接方法與間接方法相結(jié)合,幾種方法交替或同時(shí)并用[2],這樣才有可能達(dá)到“又快又準(zhǔn)”“小題小做”的目的.