剖析解三角形問題,發展關鍵能力
——基于2022年高考解三角形類解答題的考查

江蘇省蘇州市張家港市張家港高級中學 蔡怡歡

解三角形是高中數學的重要內容之一,合理聯系初中的平面幾何,鏈接高中的三角函數與平面向量知識,是高中數學中比較特殊的一個知識點,也是歷年高考考查的重點之一.解三角形通常出現在高考試卷解答題中,位置偏前,難度中等.其中,三角形邊或角等元素的求值,邊或角關系式的證明,與其他相關知識的抽象與交匯以及創新應用或實際應用等方面,都是很好的考查方向.

1 通過求值,考查數學運算

點評：通過三角形的創設,結合邊或角的相關代數式以及關系,求解具體角的大小、具體邊的長度、三角形的面積或對應代數式的值等,一直是高考中最常見的解三角形解答題的設置方式與考查方式,關鍵是綜合三角函數的相關公式、解三角形的相關公式及平面幾何知識來化歸轉化,進而通過數學運算求解.

2 通過證明,考查邏輯推理

例2(2022年高考數學全國乙卷理科·17)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(1)證明:2a2=b2+c2;

(1)證明：在△ABC中,由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),得sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),整理有sinA·(sinBcosC+cosBsinC)=2cosAsinBsinC.

所以sinAsin(B+C)=sin2A=2cosAsinBsinC,結合正弦定理,可得a2=2bccosA.

由余弦定理,可得a2=b2+c2-2bccosA,所以2a2=b2+c2.

所以△ABC的周長為a+b+c=5+9=14.

點評：解三角形問題中邊或角關系的轉化,涉及三角函數公式以及解三角形中的正(余)弦定理等,利用條件與結論之間的聯系,合理通過邏輯推理與數學運算求解.

3 通過轉化,考查數學抽象

點評：以解三角形為問題背景,交匯解三角形與三角函數、函數、不等式等相關知識,數學抽象,合理轉化,借助三角函數關系式的同構與應用,合理構建角之間的關系,是破解此類問題的關鍵所在.等價轉化并加以數學抽象,回歸數學本質,是此類考題的亮點.

4 通過探究,考查數學建模

例4(2022年高考數學上海卷·19)如圖1所示,AD=BC=6,AB=20,O為AB中點,曲線CMD上任一點到點O的距離相等,∠DAB=∠ABC=120°,MO⊥AB,點P,Q關于OM對稱.

圖1

(1)若點P與點C重合,求∠POB的大小;

(2)求五邊形CDQMP面積S的最大值.

解析：(1)若點P與點C重合,由題意可得OB=10,BC=6,∠ABC=120°.

范堅強停下車，遠遠地看著傻姑。她在一個骯臟的世界里尋找，尋找食物，尋找樂趣，尋找尋找本身。此時，傻姑在一棵樹下，盯著三毛快餐店熱氣騰騰的包子出神。她呆呆地看著一個個顧客走過來，停在店前，三毛抱開蒸屜，熟練地夾起雪白的包子裝進塑料袋，一手接錢一手將包子遞給顧客。傻姑咬著手指看著，唾液在嘴角斷斷續續地牽出一條細絲。

(2)如圖2,設CD與MO相交于點N,由題意知五邊形CDQMP關于MN對稱.

圖2

所以,可得S五邊形CDQMP=2S四邊形CPMN=2(S四邊形OCPM-S△ONC).

同理,當P為劣弧DM中點時,S也取得相同的最大值.

點評：此題借助扇形的性質、正弦定理與余弦定理及三角形的面積公式在解三角形問題中的應用,合理創設情境,結合點的位置的確定以及對應的面積的最值來合理綜合應用,考查了邏輯推理、數學運算等能力.借助解三角形的創新情境來解決一些相應的實際應用問題,也是解三角形綜合應用的途徑.

解三角形解答題的場景離不開平面幾何,借助幾何場景合理構建數學模型,利用三角公式進行邏輯推理,結合三角形知識巧妙代數運算、綜合探究、創新應用等,考查考生數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗等方面的落實情況,引領高中數學教學與學習.