解無定法,但有法可尋
——拋物線與直線方程問題的解法探究與變式演練

江蘇省南通市海安立發(fā)中學 蔡宏梅

求拋物線與直線的方程是解析幾何中最基本、最重要的問題之一,是用代數(shù)方法研究幾何問題的基礎.這類題目把基本知識、方法技巧、邏輯思維能力、解題能力融于一體,成為歷年數(shù)學高考的高頻考點與重點題型之一[1].

由于動點運動規(guī)律所給出的已知條件不同,因此求解方法也不相同,雖然解題的方法不固定,但是卻有法可尋.下面結合高考真題來具體探究這類問題的思路與解法.

1 真題展示

例1(2022年高考全國數(shù)學甲卷第20題)設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點D(p,0),過F的直線交C于M,N兩點.當直線MD垂直于x軸時,|MF|=3.

(1)求C的方程;

(2)設直線MD,ND與C的另一個交點分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當α-β取得最大值時,求直線AB的方程.

2 解法探究

2.1 第(1)問的解法

所以拋物線C的方程為y2=4x.

點評與總結：定義法是求拋物線方程最常用的一種方法.

2.2 第(2)問的解法

因為Δ>0,且y1y2=-4,所以由斜率公式可得

同理可得y4=2y1.

點評與總結：解決第(2)問的關鍵是利用拋物線方程對斜率進行化簡,最后利用韋達定理即可得出坐標間的關系.

3 變式演練

(1)求該拋物線的方程;

(Ⅰ)第(1)問的解法

(Ⅱ)第(2)問的解法

由第(1)問可先求A,B兩點的坐標,用λ表示出點C,代入求值即可.

整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.

點評與總結：解決此類問題通常采用“設而不求”的方法,首先設出直線與拋物線兩交點的坐標,根據(jù)拋物線的方程正確表示出焦點弦長,再利用已知條件求解.

思路分析：先將|MN|轉化為焦半徑|AF|,|BF|的關系式,再變形,應用基本不等式即可求最大值.

解析：如圖1,過點A,B分別作拋物線準線的垂線,垂足分別為A1,B1.由題意,可知

圖1

在△AFB中,|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF|·|BF|·cos 120°=|AF|2+|BF|2+|AF||BF|,所以

當且僅當|AF|=|BF|時,等號成立.

綜上所述,求解拋物線與直線的有關運動規(guī)律類問題,雖然沒有可套的通用模式,但是有靈活的方法可尋.大多要經過審題、尋找并確定求解途徑、逐步轉化推演、綜合陳述、完整作答或給出恰當?shù)慕Y論等必不可少的環(huán)節(jié)[2].在具體的解題過程中,在積極尋找恰當方法的同時,還要注意挖掘一些隱含條件,注明x,y的取值范圍;要針對軌跡的不同情況,分別討論,確保解題的完整性.