一道拋物線定點考題的探究

廣東汕頭華僑中學 張應楷

定點與定值問題是圓錐曲線中的常考熱點問題,常見的解題策略為從特殊到一般,即通過特殊化發(fā)現(xiàn)結論,再在一般情況下進行證明.在具體的證明過程中,常見的路徑是將幾何關系代數(shù)化,通過代數(shù)運算獲得結論,再對結論進行幾何化的解釋.本文中將從不同的視角對一道以拋物線為背景的定點問題進行探究.

1 題目及分析

已知拋物線C:y2=2px(p>0)的準線與x軸的交點為H,直線過拋物線C的焦點且與C交于A,B兩點,△HAB的面積的最小值為4.

(1)求拋物線C的方程;

分析：本題第(1)問考查拋物線的基本性質(zhì),其目的是獲得拋物線的方程,考查了焦點弦、點到直線的距離公式等知識點;第(2)問考查了直線與拋物線的位置關系,其核心要點在于EM⊥EN,可從向量、斜率等視角進行解析.

2 解題方法呈現(xiàn)

對于第(1)問,有如下兩種方法.

由韋達定理,得y1+y2=2pt,且y1y2=-p2.由拋物線的定義,得焦點弦|AB|=x1+x2+p=t(y1+y2)+2p=2pt2+2p(也可通過弦長公式求解).

對于第(2)問,有如下三種方法.

方法一：基本量法.

評注：方法一是對題干條件的直接使用,思維量較低.其求解思路是將原題干條件轉化為變量y1,y2間的關系,通過韋達定理實現(xiàn)消元.接下來介紹利用“雙根法”來簡化韋達定理的應用.

方法二：利用“雙根法”求解.

在方法一的基礎上,可令y2-4ty+4t-17=(y-y1)(y-y2).

評注：“雙根法”是回避韋達定理的利器,可有效地提升運算效率.

方法三：平移齊次化,構造斜率方程求解.

在題干中,EM⊥EN等價于kEM·kEN=-1,為此,可以考慮通過齊次化,構建關于斜率k的方程,進而結合韋達定理求解.

評注：該方法的本質(zhì)是將圖形進行平移,得到的“齊二次”可直接構建關于斜率的方程.當斜率滿足其他表達式時,特別是可用韋達定理求解時,利用該方法非常高效.

3 命題推廣

筆者嘗試了將原問題一般化,經(jīng)過探究,當Q為任意點時,在拋物線C上不一定存在點E使得條件成立;但如下的逆向結論成立:設M(x0,y0)是拋物線C:y2=2px(p>0)上的一定點,A,B是拋物線上兩個動點,且MA⊥MB,則直線AB恒過定點P(2p+x0,-y0).

因為y1≠y0,y2≠y0,所以(y1+y0)(y2+y0)+4p2=0,即

①

由上式可知,直線AB必過定點P(2p+x0,-y0),因此結論成立.

通過幾何畫板等數(shù)學軟件,觀察點M(x0,y0)、拋物線C:y2=2px及定點P(2p+x0,-y0)三者的位置信息,可知:定點P在點M的法線(過點M且與點M處的切線垂直的直線)上.

證明：根據(jù)文[1],拋物線C在點M處的切線l的方程為px-y0y+px0=0.

點M的法線為過點M且與點M處的切線垂直的直線,即為l′:y0x+py-x0y0-py0=0.

代入點P的坐標驗證,可知點P在l′上.結論成立.

該結論即為著名的富瑞吉定理:在圓錐曲線Γ上任取一點P,過點P作兩條互相垂直的射線與Γ交于點A,B,則直線AB過定點,且該定點在過點P的法線上.

通過上述分析,也可利用待定系數(shù)法來解決原問題,過程略.