洞悉高考考題方向 加強(qiáng)試題融舊創(chuàng)新
——對(duì)2022年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第22題的探析

重慶市九龍坡區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院 周建玲 重慶市育才中學(xué) 彭國(guó)富

新高考強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性,在試題之間、考點(diǎn)之間、學(xué)科之間相互關(guān)聯(lián),交織成網(wǎng),對(duì)學(xué)生素質(zhì)進(jìn)行全面考查.通過對(duì)2022年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷考題的分析發(fā)現(xiàn),考題在呈現(xiàn)方式和設(shè)問方式上有所創(chuàng)新,打破了一些固有模式,以此考查學(xué)生解決問題的應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力.如何引導(dǎo)學(xué)生建立起必備知識(shí)與關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值之間的緊密聯(lián)系,這需要教師高屋建瓴,善抓典型例習(xí)題、考題中的核心知識(shí)與方法并進(jìn)行融舊創(chuàng)新的改編,以培養(yǎng)學(xué)生在新情境下積極主動(dòng)地探索新方法解決問題的創(chuàng)新能力.下面將重點(diǎn)以例1的第(3)問為例,逆向論述一些常規(guī)解題與試題融舊創(chuàng)新的實(shí)踐研究.

1 試題呈現(xiàn)與簡(jiǎn)要分析

例1(2022年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第22題)

已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.

(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x>0時(shí),f(x)<-1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(3)設(shè)n∈N*,證明:

分析：第(1)問求導(dǎo),令導(dǎo)函數(shù)大(小)于0較易解決;第(2)問是恒成立問題,可分離參數(shù).由f(0)=-1,猜想它是一個(gè)端點(diǎn)效應(yīng)問題,可試著分類討論.第(2)問的具體解答過程如下.

解析：(2)求導(dǎo),得f′(x)=eax(1+ax-ex-ax)(x>0).

令φ(x)=1+ax-ex-ax,則φ′(x)=a+(a-1)·ex-ax,可得φ′(0)=2a-1.

當(dāng)a≥1時(shí),φ′(x)>0,則φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,φ(x)>φ(0)=0,即f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)>f(0)=-1,不滿足題意.

關(guān)于第(2)問的解法探究,常見的還有幾種,本文中不一一呈現(xiàn).下面重點(diǎn)探究例1的第(3)問.師生普遍感到第(3)問很難,并且參考答案也有些突兀、難以理解.

2 破難尋質(zhì)

例1的第(3)問巧妙地將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式結(jié)合在一起,體現(xiàn)了新高考以必備知識(shí)為基礎(chǔ),強(qiáng)調(diào)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間相互關(guān)聯(lián),同時(shí)也突出了問題呈現(xiàn)方式的新穎性.在對(duì)第(3)問的破題過程中,筆者聯(lián)想到了平時(shí)教學(xué)研究中的兩個(gè)經(jīng)驗(yàn).

2.1 聯(lián)想一

首先聯(lián)想到了下面例2的第(2)問:

例2(2019年東北四校聯(lián)考)若函數(shù)f(x)=ex-ax-1(a>0)在x=0處取極值.

(1)求a的值,并判斷該極值是函數(shù)的最大值還是最小值;

2.2 聯(lián)想二

2020年人教A版新教材選擇性必修第二冊(cè)習(xí)題5.3的第12題:

利用函數(shù)的單調(diào)性,證明下列不等式,并通過函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證:

(1)ex>1+x(x≠0);(2)lnx0).

由此題的(1)(2)可推出以下基本模型.在教學(xué)中,也可引導(dǎo)學(xué)生畫如圖1所示的函數(shù)圖象,幫助學(xué)生更好地理解基本模型[1]:

圖1

①ex>1+x(x≠0);

②lnx0);

③lnx0,x≠1);

④ln(x+1)

于是,可得到例2(2)的解題思路:

3 源質(zhì)破難

有了以上的解題與探究經(jīng)驗(yàn),下面再來看例1的第(3)問:

設(shè)n∈N*,證明:

圖2

①

令n=1,2,3,……,n,將所得的n個(gè)不等式累加,得

對(duì)于上述證法,考慮到F(x)含有根號(hào),求導(dǎo)太復(fù)雜,因此可以先換元,直接將根號(hào)去掉.

②

4 總結(jié)反思

綜觀例1第(3)問的解題思路,雖然形式新穎,但萬變不離其宗.在高考復(fù)習(xí)階段,教學(xué)中不僅要講清楚題目本身及其變式訓(xùn)練,還要引導(dǎo)學(xué)生“揭示問題本質(zhì)”,通過“本質(zhì)”去編題、命題,打破機(jī)械刷題、機(jī)械套路.為了不讓學(xué)生盲目地刷題,教師要通過對(duì)試題的核心知識(shí)與方法的融舊創(chuàng)新,時(shí)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考問題,在“生”中尋“熟”,靈活運(yùn)用各種知識(shí)與思想方法.真正通過數(shù)學(xué)教育,幫助學(xué)生形成理性思維、科學(xué)精神,促進(jìn)其個(gè)人智力發(fā)展,發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科不可替代的作用.