“命”核心,“提”素養
——一類導數題命制的過程

云南省昆明市第十中學 謝 瑋 王志紅 倪文妍 宋鴻雁

1 命題

題目(原創題)已知函數f(x)=(x-a)ex+2,a∈R.

(1)討論f(x)的單調區間;

2 命題過程

下面我們一起探求上述原創題的命制過程.

如圖1所示:

圖1

我們知道,拐點處的切線有其特殊性,它是穿過函數圖象的一條直線.

從不等關系的角度來看,有:

從方程的角度來看,有:

為了使模型簡潔化,我們將函數調整為f(x)=xex+2,此時,它的拐點為(-2,-2),拐點處的切線方程為y=-x-4.

為了進一步利用上下翻轉的函數圖象變換將不等號統一起來,我們再將函數圖象上平移兩個單位,得到y=xex+2+2,此時,它的拐點為(-2,0),拐點處的切線方程為y=-x-2.

如圖2所示:

圖2

從不等關系的角度來看,有:

當x≤-2時,0≤xex+2+2≤-x-2;當x≥-2時,xex+2+2≥-x-2.

從方程的角度來看,有:

對于方程xex+2+2=k(x+2),當k≥0時,有兩個根;-1

至此,我們可以將方程根的個數問題,轉變為函數零點的問題命制一個小題.

題1若函數f(x)=xex+2-kx-2k+2有三個零點,則實數k的取值范圍是______.

再回到不等關系上來,我們知道,絕對值符號可以實現圖象的上下翻轉,從而可以統一不等號的方向,因此構造這樣兩個函數:f(x)=|xex+2+2|,g(x)=|x+2|.兩個函數的圖象如圖3所示.

圖3

因此,可以得到這樣一個不等關系:當x≤0時,|xex+2+2|≤|x+2|.

通過這個不等關系,再添加參數可以命制如下一個大題:

題2已知函數f(x)=xex+2+2,a∈R,

(1)討論f(x)的單調區間;

(2)若x≤0時,|f(x)|≤a|x+2|,求a的取值范圍.

該問題從本質上來說研究的是曲線與切線的位置關系,由這一方向入手不難想到一個常用的切線放縮模型lnx≤x-1,如果通過合適的圖象變換,可以利用切線放縮將lnx型函數引入到問題中來,也許可以使結構有一定的對稱美.

因此做如下嘗試:

首先將函數f(x)=|xex+2+2|與函數g(x)=|x+2|的圖象向右平移兩個單位,重新構造函數:f(x)=|(x-2)ex+2|與g(x)=|x|,使得模型的關鍵點由(-2,0)變為坐標原點.如圖4所示.

圖4

再將對數函數的圖象作適當的平移、翻轉變換,可以得到這樣的結構:|(x-2)ex+2|≤-ln(-|x|+1),如圖5所示.

圖5

然而這一結構過于復雜,且并不具有較好的簡潔性,同時絕對值元素添加較多,與近幾年高考真題結構相去較遠,因此到這里就需要考慮重新調整思路.

讓我們重新回到函數f(x)=xex+2+2,它的拐點為(-2,0),拐點處的切線方程為y=-x-2.前面添加絕對值符號,是為了讓其實現凹凸翻轉,從而統一不等號方向.

當重新思考這個問題的時,我們發現切線的另一含義實際上是泰勒一階展開.從這個角度入手,將函數進行五階泰勒展開,希望從中找到較好的命題入口.

圖6

圖7

這樣,利用上面得到的恒成立不等關系,添加合適的參數就得到了本文開頭給出的試題.

3 命題小結

本次命題重點對函數曲線在拐點處的切線進行研究,通過相等關系構造函數的零點問題,通過不等關系構造恒成立問題.本題解法靈活多樣,可采用分類討論、分離參數、必要性探路等方法,具體解法再另文刊出.