拋物線中“切點(diǎn)三角形”性質(zhì)的探究及應(yīng)用

安徽省銅陵市義安區(qū)教育體育局教研室 陶 俊

1 拋物線“切點(diǎn)三角形”及其性質(zhì)

過拋物線外一點(diǎn)P(x0,y0)作拋物線y=ax2+bx+c的兩條切線PA,PB,A,B為切點(diǎn)(如圖1),M為AB的中點(diǎn),連PM交拋物線于點(diǎn)N,稱△PAB為“切點(diǎn)三角形”,它具有如下性質(zhì):

圖1

性質(zhì)1“切點(diǎn)三角形”的一條中線平行拋物線的對稱軸l,即PM∥l.

性質(zhì)2“切點(diǎn)三角形”的一條中線被拋物線平分,即PN=MN.

這里f(x0)是當(dāng)x=x0時(shí)拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的值f(x0)=ax02+bx0+c.

圖2

2 拋物線“切點(diǎn)三角形”性質(zhì)的證明

設(shè)其切線方程為y-y0=k(x-x0),與拋物線方程聯(lián)立,整理得到

ax2+(b-k)x+c+kxo-y0=0.

由PA,PB與拋物線y=ax2+bx+c相切,得Δ=0,即(b-k)2-4a(kx0-y0+c)=0,亦即k2-(2b+4ax0)k+b2+4ay0-4ac=0,則

整理,得y+y0=2ax0x+bx+bx0+2c=f′(x0)x+bx0+2c.

所以直線AB的方程為y=f′(x0)x+bx0-y0+2c.

又點(diǎn)A,B在拋物線上,聯(lián)立方程消去y,得

ax2+bx+c=f′(x0)x+bx0+2c-y0.

故AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(x0,2f(x0)-y0),又P的坐標(biāo)為(x0,y0),則PM∥l.性質(zhì)1得證.

這里,PN2=(f(x0)-y0)2,

所以,有

①

由平面幾何可知,在△PAB中,PM是AB邊上的中線,根據(jù)三角形中線定理,可得

②

由①②式,可得4PN2=PM2,即2|PN|=|PM|.所以N是PM的中點(diǎn),PN=MN.性質(zhì)2得證.

3 拋物線“切點(diǎn)三角形”性質(zhì)的應(yīng)用

所以△PAB的面積為18.

例2如圖3,從拋物線上A(1,3),B(3,-1)兩點(diǎn)分別作拋物線的切線交于點(diǎn)P,若△ABP的面積為10,求拋物線的解析式.

圖3

解析：取AB中點(diǎn)M并連接PM交拋物線于點(diǎn)N,由切點(diǎn)三角形性質(zhì)1,可知PM平行于y軸,N為PM的中點(diǎn).由A(1,3),B(3,-1),得M(2,1).

所以P(2,-9),N(2,-4).

因此拋物線的解析式為y=5x2-22x+20.

對于例1用常規(guī)方法,可以先計(jì)算兩切點(diǎn)A,B的坐標(biāo),再利用三點(diǎn)坐標(biāo)求三角形PAB的面積.這顯然大費(fèi)周折,用上面的方法要簡便很多.對于例2也許用普通的方法就不好應(yīng)對了,而用拋物線切點(diǎn)三角形的性質(zhì)1則可迎刃而解,似乎“山重水復(fù)疑無路,柳暗花明又一村”.