數(shù)形結合,破解平面向量最值問題

江蘇省前黃高級中學 孟 敏

近幾年的高考和模考中,平面向量經(jīng)常以求最值或取值范圍的題型出現(xiàn),與其關聯(lián)的知識點較多,題目的綜合性也比較強,學生雖然感覺“面熟”,卻普遍得分不高.這種情況也在一定程度上反映出高中平面向量教學和解題中存在過于注重代數(shù)形式而忽略了幾何方法的問題.其實,平面向量集“數(shù)”“形”于一體,是溝通代數(shù)與幾何的橋梁,也是分析與解答數(shù)學問題的有效工具.

高中數(shù)學中的最值問題研究的就是“動”的問題,只要找到“動”的規(guī)律,問題也就迎刃而解了!所以,在解決問題時,有時可以利用平面向量的定義、性質、幾何意義等,將條件轉化為圖形特征,將問題化歸為平面幾何問題進行處理.相對于代數(shù)方法,幾何法可能更直觀形象!下面將以例題形式呈現(xiàn)一些平面向量最值問題的代數(shù)解法與幾何解法,并對幾何解法的入手方向進行分類闡述,揭示“動” 與“變”的聯(lián)系.

1 利用平面向量的平行四邊形法則

圖1

圖2

2 利用數(shù)量積的幾何意義

圖3

圖4

3 利用極化恒等式化歸為距離問題

圖5

圖6

4 利用向量的模的幾何意義

圖7

其實,平時的練習中還有很多這樣既可以用代數(shù)法又能用幾何法解決的問題,更不乏巧妙使用幾何法的例子.但是,我們不能因為將向量條件量化后能擺脫復雜的變形或化簡就一味追求代數(shù)法.如果能夠充分發(fā)掘題設條件和所求目標的幾何意義,有些繁難的運算可能就能夠避免,同時也能引導學生領會和體驗數(shù)學內涵,掌握和鞏固數(shù)學方法.因此,在平時的教學中,既要重視向量的代數(shù)運算,又要注意加強向量運算的幾何意義的滲透,幫助學生形成和內化數(shù)學思想,促進其核心素養(yǎng)的發(fā)展.