有關(guān)基本不等式的常見題型

安徽省渦陽第一中學(xué) 李友轉(zhuǎn)

1 直接應(yīng)用類[1]

此類問題直接利用基本不等式求最值即可.注意“一正、二定、三相等”這三個條件缺一不可.

例1已知0

分析：滿足“一正、二定、三相等”這三個條件,可以直接利用基本不等式求解.

解析：由00.

由基本不等式,可得

例2(2015年天津高考·文)已知a>0,b>0,ab=8,則當(dāng)a的值為______時,log2a·log2(2b)取得最大值.

分析：本題結(jié)合對數(shù)知識考查基本不等式的應(yīng)用,滿足“一正、二定、三相等”這三個條件,直接利用基本不等式反解出參數(shù)的值.

又a>0,b>0,ab=8,所以a=4,b=2.

2 恒等變形類[2]

此類問題一般不能直接使用基本不等式,要從整體上把握式子的結(jié)構(gòu)特征,對不滿足使用基本不等式條件的式子通過“變形”來轉(zhuǎn)換,但不論怎么變形,都需要根據(jù)條件轉(zhuǎn)化成湊和為定值時求積最大,或湊積為定值求和最小.

2.1 拆項法

因為t>0,所以利用基本不等式可得

故所求最小值為-2.

2.2 湊項法

分析：題目要求和的最小值,就要配湊積為定值,所以要減去2,再加上2,保持原式不變,進而利用基本不等式求解.

由x>2,得x-2>0.

因此所求最小值為4.

分析：本題中函數(shù)解析式為一個分式,不利于求出最小值,所以可通過分離常數(shù),湊出積為定值的式子,再利用基本不等式求解.

2.3 湊系數(shù)法

分析：要求積的最大值,就要配湊出和為定值的式子,再利用基本不等式求解.

因此,利用基本不等式可得

3 條件最值類

在求解含有兩個變量的代數(shù)式的最值問題時,常通過變量替換或換“1”法[3]來構(gòu)造基本不等式求解.

分析：利用換“1”法,出現(xiàn)積為定值的式子,進而利用基本不等式來求和的最小值.

解析：由a>0,b>0,a+b=1,可得

因此,利用基本不等式可得

例8若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是______.

解析：由x>0,y>0,x+3y=5xy,可得

所以,對所求式子進行整體代換,得

利用基本不等式,可得

故所求最小值為5.

A.2 B.3 C.4 D.5

分析：本題借助直線背景考查基本不等式的應(yīng)用,簡單利用換“1”法即可求解.

又a>0,b>0,所以

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時,等號成立.

故所求最小值為4.

解決基本不等式的相關(guān)題型,首先要掌握利用基本不等式求最值時的前提,即:(1)非零的各數(shù)(或式)均為正;(2)和或積為定值;(3)等號能否成立.這三個條件缺一不可.

其次就是辨別所求式子的類型,根據(jù)已知條件用相應(yīng)的方法解題即可.