巧用二次函數(shù),突破數(shù)列最值問題

云南師范大學(xué) 顧 寧 王永生

眾所周知,數(shù)列是一種特殊的函數(shù).這一特點為使用函數(shù)知識解決數(shù)列問題提供了可行的依據(jù).在高中階段,數(shù)列問題的解決中或多或少應(yīng)用到了函數(shù)知識,尤其在解決數(shù)列最值問題時,注重二次函數(shù)知識的應(yīng)用,可獲得事半功倍的解題效果.

1 求數(shù)列項的最值

A.a7B.a8C.a6或a9D.a10

分析：運用已知條件,并結(jié)合數(shù)列知識學(xué)習(xí)中獲得的啟發(fā),采用累乘法求出數(shù)列{an}的通項公式.通過構(gòu)造二次函數(shù),借助二次函數(shù)性質(zhì)求得最大項.

=1×(-1)0+1+……+(n-2)×26+5+……+(8-n)

由于n∈N*,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì),可知f(n)的最大值在對稱軸或其左右取得.

故選答案:C.

點評：該題難點在于通過累乘求出數(shù)列{an}的通項公式[1].同時,要能從二次函數(shù)視角切入,通過分類討論得出最值.

2 求代數(shù)式的最值

例2已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,其中a1>0,公差d<0,若對任意的n∈N*,總存在k∈N*,使得S2k-1=(2k-1)Sn,則k-9n的最小值為( ).

A.-74 B.-64 C.-53 D.-43

分析：結(jié)合“S2k-1=(2k-1)Sn”以及等差數(shù)列性質(zhì)構(gòu)建ak和Sn的關(guān)系式,由已知條件通過推理得出的d和a1的關(guān)系,利用等量代換將要求解的代數(shù)式的值轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的二次函數(shù),進而求解.

故選答案:C.

點評：該題難度較大,解題的關(guān)鍵在于從已知條件入手,通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评淼贸鱿嚓P(guān)參數(shù)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系,將代數(shù)式的最值問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題[2].

3 求參數(shù)的最值

分析：運用數(shù)列的第n項和前n項和Sn之間的關(guān)系,并結(jié)合奇數(shù)項和偶數(shù)項推理出數(shù)列{an}的通項公式以及Sn的表達式,構(gòu)建n和m的關(guān)系,借助關(guān)于n的二次函數(shù)求出m的最大值.

解：由anan+1=2Sn,得an+1an+2=2Sn+1,an≠0.兩式相減得an+1an+2-anan+1=2Sn+1-2Sn,即an+1·(an+2-an)=2an+1.又an+1≠0,所以an+2-an=2.

當(dāng)n為奇數(shù)時,由a1=1,得a3=3,a5=5,……,a2k-1=2k-1.

當(dāng)n為偶數(shù)時,由a1=1,anan+1=2Sn,得a2=2,a4=4,……,a2k=2k.

當(dāng)n∈N*時,f(n)單調(diào)遞增,則f(n)的最小值為f(1)=2,故m的最大值為2.

4 求前n項和Sn的最值

例4已知數(shù)列{an}中,a1=-23,an+1+an=2n-44(n∈N*).

(1)求an;

(2)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,求Sn的最小值.

分析：運用已知條件分別推理出數(shù)列{an}奇數(shù)項、偶數(shù)項的通項公式,求出數(shù)列的前n項和Sn,結(jié)合二次函數(shù)不難求出Sn的最小值[3].

解：(1)根據(jù)題意,有

①

②

②-①,得an+2-an=2.

又由a2+a1=2-44,a1=-23,得a2=-19;同理可得a3=-21,a4=-17.

所以a1,a3,a5,……,是以a1=-23為首項,公差為2的等差數(shù)列;a2,a4,a6,……,是以a2=-19為首項,公差為2的等差數(shù)列.

(2)由(1)可知,當(dāng)n為偶數(shù)時,

當(dāng)n為奇數(shù)時,

綜上,當(dāng)n為奇數(shù)時,Sn取得最小值-243;當(dāng)n為偶數(shù)時,Sn取得最小值-242.

點評：解題時需充分理解題意,正確運用題目給出的已知條件,從數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項入手進行分類討論,得出對應(yīng)的an,Sn,然后運用二次函數(shù)性質(zhì)求出最終結(jié)果.

綜上所述,運用二次函數(shù)求解數(shù)列最值問題的關(guān)鍵在于靈活運用數(shù)列知識進行正確的推理、巧妙的轉(zhuǎn)化,化難為易,通過整理向二次函數(shù)靠攏.