三角函數(shù)中的“配湊”技巧

哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院 榮宇航

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)非常重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容,高考考查的題目形式也比較靈活多變,學(xué)生解答有一定的難度.人教A版教材將三角函數(shù)的內(nèi)容幾乎都集中在必修一、必修二,就是為了鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,加深他們對(duì)三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)與理解.由于三角函數(shù)求值類問題的技巧性比較強(qiáng),實(shí)際操作時(shí)如果合理運(yùn)用一些小技巧,能有效避免繁雜的計(jì)算,降低錯(cuò)誤率[1].本文中所介紹的“配湊法”需要在運(yùn)算前找出題干所給的“已知角”和要求的“未知角”之間的關(guān)系,通過配湊將“已知角”過渡到“未知角”,然后結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式和兩角和與差的三角公式等知識(shí)解決相應(yīng)的問題[2].

1 利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值

利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值是指在求解“未知角”的三角函數(shù)值時(shí),要借助誘導(dǎo)公式完成“已知角”和“未知角”的配湊,“未知角”的個(gè)數(shù)可以是一個(gè)也可以是兩個(gè),配湊后可結(jié)合二倍角等公式求解.

2 已知三角函數(shù)值求值

已知三角函數(shù)值求值是指配湊出“已知角”和“未知角”的關(guān)系之后,將所求的“未知角”轉(zhuǎn)化成“已知角”,進(jìn)而結(jié)合一些公式利用“已知角”的三角函數(shù)值求解.

分析：題目中的兩個(gè)“已知角”分別為β和α+β,并給出了對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值,首先找到“未知角”α與兩個(gè)“已知角”之間的關(guān)系,即α=(α+β)-β,然后借助所給角的三角函數(shù)值來(lái)求α的余弦值.

分析：題目中的兩個(gè)已知角分別為α-β和α+β,所求角是2β.仿照例3的思路,先找到三者之間的關(guān)系,即2β=(α+β)-(α-β),然后借助所給角的三角函數(shù)值來(lái)求2β的正弦值.同時(shí)注意在求已知角的三角函數(shù)值時(shí)要考慮角的取值范圍.

總結(jié)提煉：解決已知三角函數(shù)值求值的問題,首先要考慮角的關(guān)系,常用的是二倍角關(guān)系以及和差與特殊角的關(guān)系,然后再選擇合適的公式求值.計(jì)算求解時(shí)一定要考慮已知角的范圍,否則會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果造成影響.

3 已知三角函數(shù)值求角

已知三角函數(shù)值求角是指在求解角的時(shí)候,首先根據(jù)“已知角”和“未知角”之間的關(guān)系表示出“未知角”,然后借助已知角的三角函數(shù)值求出未知角的三角函數(shù)值,進(jìn)而結(jié)合角的范圍求出未知角.

分析：利用三角函數(shù)值求角的問題實(shí)質(zhì)是求三角函數(shù)值的逆向思維應(yīng)用,在運(yùn)用的過程中要注意“已知角”的范圍,以確定“未知角”所在的象限,進(jìn)而選擇合適的三角公式,從而有效避免在解題的過程中出現(xiàn)增根.該題很容易看出未知角與已知角之間的關(guān)系,可以先借助二倍角公式對(duì)2β進(jìn)行處理,然后結(jié)合兩角和與差的三角公式求解.

總結(jié)提煉：已知三角函數(shù)值求角,首先要對(duì)角進(jìn)行相應(yīng)的變換,借助和、差、倍角、半角等公式,建立條件和結(jié)論之間的聯(lián)系,進(jìn)而使問題得以解決.做題時(shí)常見的角的變換方式有2α=(α+β)+(α-β),2α-β=(α-β)+α等.同時(shí),解決這類問題的關(guān)鍵是要熟記三角函數(shù)的公式并能夠靈活加以應(yīng)用.