支架式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
——以人教A版“正態(tài)分布”為例

哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院 袁美玉 哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房維維

支架式教學(xué)是以學(xué)習(xí)者為中心,以培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力和自主學(xué)習(xí)能力為目標(biāo)的教學(xué)模式.教師向?qū)W習(xí)者提供一些線索和提示,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和解決學(xué)習(xí)中的問(wèn)題,掌握所要學(xué)習(xí)的知識(shí),提高問(wèn)題解決能力,培養(yǎng)學(xué)生成長(zhǎng)為獨(dú)立的學(xué)習(xí)者.

合理利用支架式教學(xué)能有效培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和解決問(wèn)題的能力,支架式教學(xué)正逐漸被高中數(shù)學(xué)教師所采用.筆者以人教A版“正態(tài)分布”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例,探討如何在教學(xué)中合理利用支架式教學(xué)實(shí)現(xiàn)其應(yīng)有的價(jià)值.

1 “正態(tài)分布”教學(xué)設(shè)計(jì)思路

本節(jié)課選自2019年人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)第七章《隨機(jī)變量及其分布列》第五節(jié),教學(xué)素材豐富,可以很好地利用情境支架、問(wèn)題支架、工具支架、實(shí)驗(yàn)支架、數(shù)學(xué)文化等多個(gè)支架層層遞進(jìn)地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)教學(xué)思路如圖1所示.

圖1

2 “正態(tài)分布”教學(xué)設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1：搭建概念支架,明晰連續(xù)型隨機(jī)變量特征

【問(wèn)題支架1】師:在生活中存在著大量的隨機(jī)事件,比如在學(xué)校內(nèi)任意選取一名同學(xué),我們能否事先準(zhǔn)確地猜測(cè)出這位同學(xué)的身高?

【問(wèn)題支架2】師:這位同學(xué)身高的可能取值你能列舉出來(lái)嗎?如果能,請(qǐng)列出它的分布列.

追問(wèn):該同學(xué)身高正好為1.70 m的概率是多少?

師生總結(jié):總結(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量的主要特征并與離散型隨機(jī)變量進(jìn)行對(duì)比學(xué)習(xí).

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)兩個(gè)問(wèn)題支架,引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,同化學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

環(huán)節(jié)2：創(chuàng)設(shè)情境支架,建立誤差模型,觀察曲線特點(diǎn)

【情境支架】師:某鋼材廠生產(chǎn)了一批鋼筋,為了檢驗(yàn)鋼筋長(zhǎng)度是否符合出廠標(biāo)準(zhǔn),隨機(jī)抽取出了1 000根鋼筋,計(jì)算誤差,并且繪制頻率分布直方圖和折線圖.

【工具支架1】利用幾何畫板動(dòng)態(tài)展示直方圖組距逐漸縮小的過(guò)程(可通過(guò)圖2掃碼觀看).

圖2

學(xué)生總結(jié):隨著組距減小,頻率分布折線圖近似于一條光滑的曲線,這條曲線會(huì)有中間高、兩邊低、左右大致對(duì)稱的特點(diǎn).

【問(wèn)題支架3】師:這種特點(diǎn)只是該隨機(jī)變量所特有的嗎?它是偶然的現(xiàn)象嗎?

設(shè)計(jì)意圖：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究曲線有“中間高、兩邊低、左右對(duì)稱”特點(diǎn)的原因.

環(huán)節(jié)3：深入探究正態(tài)曲線特點(diǎn)的原因

【實(shí)驗(yàn)支架】教師介紹高爾頓釘板的結(jié)構(gòu).

【問(wèn)題支架4】小球下落的位置是一個(gè)隨機(jī)事件嗎?

追問(wèn)1:大量的小球下落,它的分布會(huì)不會(huì)呈現(xiàn)特殊的規(guī)律呢?

追問(wèn)2:多次實(shí)驗(yàn),結(jié)果還是一樣的嗎?

【問(wèn)題支架5】為什么隨機(jī)變量的概率分布會(huì)呈現(xiàn)這樣的特點(diǎn)呢?(提示:高爾頓釘板曾在學(xué)習(xí)二項(xiàng)分布時(shí)有過(guò)應(yīng)用.)

在生活中,眾多的、互不干擾的、不分主次的偶然因素所作用而產(chǎn)生的連續(xù)型隨機(jī)變量,例如某些物理量的測(cè)量誤差,某地每年某月的平均降水量、平均氣溫,某一地區(qū)同年齡人的身高、體重等都服從正態(tài)分布.

環(huán)節(jié)4：小組協(xié)作學(xué)習(xí),探索正態(tài)曲線的性質(zhì)特征

【問(wèn)題支架6】依據(jù)函數(shù)的性質(zhì),分析正態(tài)密度函數(shù)解析式和正態(tài)曲線,總結(jié)正態(tài)曲線的性質(zhì)特征.(小組合作,并派小組代表匯報(bào)本組的研究成果.)

追問(wèn)1:在學(xué)習(xí)函數(shù)的過(guò)程中,我們通常學(xué)習(xí)函數(shù)的哪些性質(zhì)?

追問(wèn)2:正態(tài)密度函數(shù)的定義域是什么?值域是什么?

追問(wèn)3:正態(tài)密度函數(shù)有怎樣的單調(diào)性?

追問(wèn)4:正態(tài)密度函數(shù)的對(duì)稱軸是什么?

追問(wèn)5:函數(shù)的最大值在何處取得?

設(shè)計(jì)意圖：從正態(tài)密度函數(shù)解析式入手,不僅可以準(zhǔn)確地分析正態(tài)曲線的性質(zhì)特征,還可以提高學(xué)生分析函數(shù)解析式的能力.

【問(wèn)題支架7】利用幾何畫板,觀察當(dāng)μ和σ分別發(fā)生改變時(shí),見(jiàn)圖4、5,正態(tài)曲線有怎樣的變化規(guī)律?這兩個(gè)參數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中有何意義?(可通過(guò)圖3掃碼觀看.)

圖3

圖4

圖5

學(xué)生總結(jié):參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置,σ反映了隨機(jī)變量的分布相對(duì)于均值μ的離散程度.

教師總結(jié)：在實(shí)際問(wèn)題中,參數(shù)μ,σ可以分別用樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)估計(jì),所以若X～N(μ,σ2),則E(X)=μ,D(X)=σ2.

【問(wèn)題支架8】對(duì)于服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量,如何求得隨機(jī)變量的取值落在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率?

追問(wèn):正態(tài)曲線與x軸圍成的面積是多少?

環(huán)節(jié)5：應(yīng)用GeoGebra軟件,歸納3σ原則

【工具支架2】師:正態(tài)密度函數(shù)可以由μ,σ兩個(gè)參數(shù)唯一確定,假設(shè)X～N(0,1),可以利用GeoGebra軟件,求得隨機(jī)變量的取值落在任意區(qū)間內(nèi)的概率,如圖6所示.

圖6

引導(dǎo)學(xué)生在練習(xí)操作GeoGebra軟件的過(guò)程中自主總結(jié)出3σ原則.

學(xué)生總結(jié):假設(shè)X～N(μ,σ2),則

P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;

P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;

P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.

教師總結(jié)：盡管正態(tài)變量的取值范圍是實(shí)數(shù)集,但是取值落在區(qū)間[μ-3σ,μ+3σ]以外的概率大約只有0.002 7,通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生.所以在實(shí)際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則.

3 總結(jié)與反思

本設(shè)計(jì)的亮點(diǎn)之一在于在教學(xué)過(guò)程中,真正做到了以教師為主導(dǎo),以學(xué)生為主體.通過(guò)一個(gè)個(gè)支架,引導(dǎo)學(xué)生向上攀升,逐漸提升解決問(wèn)題的能力.

亮點(diǎn)之二在于教師提供函數(shù)性質(zhì)這一支架,類比函數(shù)的性質(zhì),學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)了正態(tài)曲線的性質(zhì)特征.通過(guò)小組交流,學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)產(chǎn)生頭腦風(fēng)暴,互相補(bǔ)充,總結(jié)出結(jié)論.既鍛煉了學(xué)生通過(guò)類比遷移知識(shí)的能力,又提高了學(xué)生協(xié)作交流的能力.

亮點(diǎn)之三在于教師演示了GeoGebra軟件的使用過(guò)程之后,學(xué)生有機(jī)會(huì)實(shí)踐操作,并且了解到對(duì)于服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量,只需要知道樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差,就可以求得隨機(jī)變量的取值落在某區(qū)間內(nèi)的概率.體會(huì)正態(tài)分布的無(wú)窮魅力.

不足之處在于在正態(tài)分布模型的教學(xué)中應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念和數(shù)學(xué)建模能力.由于課堂時(shí)間有限、樣本容量有限,因此未能展開(kāi)對(duì)學(xué)生生活中服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量進(jìn)行數(shù)據(jù)收集的工作,弱化了對(duì)學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念和數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng).