突出問題解決 發展高階思維*

廣東省廣州市藝術中學 吳榮燕

培養高中生數學高階思維能力,主要是要發展學生的探究創新、批判質疑、直觀想象、問題解決等能力.從數學教學的角度來看,教師要深刻理解教學內容,挖掘其蘊含的高階思維培育素材,在課堂上創設情境,引導學生開展深度學習,促成高階思維的發展.

1 教學過程

下面以人教A版(2019)“余弦定理、正弦定理”的新授課教學設計為例,展示應如何在課堂中培養學生問題解決的能力,發展高階思維.

1.1 生成目標問題

問題1三角形是我們非常熟悉的幾何圖形,構成一個三角形的基本要素有哪些?

生1:三條邊和三個角,一共六個基本要素.

問題2我們學過的全等三角形的判定定理有哪些?

生2:有“SAS”“SSS”“ASA”.

師:這是“定性”的結論.在△ABC中,試找出邊和角之間的“定量”關系.

設計意圖：把握事物的本質,是建構知識結構的前提.從學生熟悉的全等三角形判定定理出發,引導學生從定性的研究轉向定量的探究.

1.2 啟發引導思考

問題3如圖1,在△ABC中,如何用邊、角的關系來表示三角形的面積S?

圖1

師:這便是“正弦定理”,其實質是三角形面積公式的推論.

生5質疑:上述“正弦定理”對任意三角形都成立嗎?

學生討論直角、鈍角三角形的情形.

師:結構對稱的正弦定理實際上是三角形面積公式的推論.

設計意圖：正弦定理充分體現了“對稱支配力量”的數學美感,可作為學生認識數學審美價值、人文價值的一個切入口.

1.3 明晰探究路徑

問題4要探究三角形的邊與角的定量關系,還可以運用哪些工具?

生6:平面向量,它兼具數與形,既有大小又有方向.

問題5在△ABC中,存在著哪些恒成立的向量關系式?

問題6如何將上述向量等式數量化呢?

生8:兩邊同時平方,用數量積的方法展開.

生9:兩邊同時與同一個向量作數量積運算.

設計意圖：抓住向量法的根本,幫助和引導學生養成用向量法解決幾何問題的習慣,掌握解決此類問題的一般研究方法.

1.4 引導合理論證

活動一：兩邊平方作數量積運算

生10:兩邊同時平方,整理,得a2=b2+c2-2bccosA.同理,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.

師點評:上述三式即為余弦定理.勾股定理是余弦定理的特殊化.

活動二：兩邊同時用a,b,c中的某個向量與其作數量積運算

生11:由a=b-c,得a·a=(b-c)·a,化簡得a=bcosC+ccosB(①);由“對稱性”,得b=acosC+ccosA(②),c=bcosA+acosB(③);聯立方程①②③可得余弦定理.

師補充:式①②③為“射影定理”.

設計意圖：使學生聚焦數量積運算,通過探究獲得對向量法的深刻理解,突破最近發展區,進入批判性思考階段.

問題7設i,j分別是平行和垂直于向量a的單位向量,請繼續探究向量等式的數量積運算.

活動三：兩邊同時與i作數量積運算

生12:可得a=bcosC+ccosB,后續與“活動二”相同.這個數量積運算省去約分的步驟,簡化了計算過程.

活動四：兩邊同時與j作數量積運算

生13:若b,j的夾角為銳角,化簡后為bsinc=csinB,可得正弦定理.夾角為鈍角時結論相同.

問題8向量的數量積運算是如何實現余弦定理和正弦定理轉化的?

生14:通過構造與已知向量垂直的單位向量,實現構造角之間的互余關系.

設計意圖：采用“說數學”的教學策略,讓學生討論構造單位正交基帶來的簡化與變化,激發學生的分析、評價、創造等高階思維.

1.5 課堂回顧反思

問題9這節課我們通過哪些方式推導出了正弦、余弦定理?體現了哪些數學思想方法?

設計意圖：體會知識的生長過程和向量的工具價值.歸納本節課滲透的數學思想方法,進一步發展分析、評價、創造等高階思維.

問題10本節課中從哪些角度,提出了哪些關鍵問題?

設計意圖：激發學生思考“問題的問題”,讓他們學會發現問題、提出問題,進而培養高階思維,促進深度學習的發展.

2 指向高階思維的數學課堂教學反思

核心素養、高階思維的培養和發展必須以數學課堂為陣地,以學生為主體、教師為主導來開展,本節課的“高階思維”課堂教學動線如圖2所示.

圖2 “高階思維”課堂教學動線

2.1 關注單元教學,提高問題解決能力

高階思維的培養,需要教師關注單元教學,基于學科本質凝練系統化的知識,獲取知識的內在聯系和蘊含的高階思維,使得學生頭腦中的知識群之間具有關聯性、邏輯性.

2.2 注重知識的生成,培養探究創新能力

教師要引導學生通過探究交流等方式理解知識的發現過程,從而培養學生的探究創新等高階思維能力.

本節課從三角形的基本要素出發,引導學生對三角形的研究從定性轉向定量,尋找三角形的向量等量關系式,將向量關系轉化為數量關系式等發散式問題,這些均是在創設知識的“生長點”.在四個探究活動中,學生經歷了數量積的幾何意義,如a2=|a|2,a·e=|a|cosθ(e為單位向量)和a⊥b?a·b=0,運用向量法最終實現對余弦定理、正弦定理的互證.由此學生理解到,三角形的各種幾何量之間可以互相表達,從而可能進一步發現其他證明方法,增強創新意識與能力.在解決新問題時,才更易理解問題實質,并提取、運用已學知識經驗,通過分析與綜合進行高階思維活動.

2.3 創設交流平臺,激活批判質疑能力

在認知發展的過程中,思維的外化需要學習者作出相關的陳述,理解他人的陳述,相互論證或挑戰各自的觀點或假設.所有這些過程都將直接導致高階思維活動和高階學習.“說數學”是指個體用口頭表達自己對數學問題的理解、解決數學問題的思路以及數學學習情感等的數學學習活動.

2.4 重視育人價值,促進個體主動發展

深度學習并不只是對淺層學習的反對,也并不只停留于學生高階思維的培養,而是要促進學生作為具體的社會歷史實踐主體的成長和發展.

數學學科在培養學生理性思維、科學精神和促進智力發展的過程中發揮著重要作用.本節課注重聯系初中所學過的三角形邊角的定性關系,結合學生的最近發展區,鼓勵學生運用類比、轉化、分類與整合等多種方法探究三角形邊角的定量關系,自然而然地引入向量作為工具,揭示向量的本質屬性.學生在教師的引導下,經歷正、余弦定理的推導過程,領悟向量法所蘊含的數學思想;在“說數學”活動中發展提出問題、批判質疑、合作交流的能力;在對三角定律的深入學習中,培養高階思維,感受數學家嚴謹、求實的責任擔當,讓學生對社會的發展產生責任感和使命感.這也是對深度學習理念的任務與目標的體現和落實.

深化課程改革精神,需要教師從自身的教學出發,關注學生的深度學習和主體發展,通過知識的教學達成全面育人的目的.如何通過培養數學高階思維促進核心素養的落地,還需要教師不斷反思和探索.