猶抱琵琶半遮面 千呼萬喚始出來
——2023年新高考I卷壓軸題

山東省威海乳山市第二中學 于水英 陳 麗 王 玲

1 試題呈現(xiàn)

(1)求W的方程;

2 試題分析與思維導圖

2.1 第(1)問的分析

第(1)問難度較低,直接利用拋物線定義或者將題干直接“翻譯”成數(shù)學符號語言就可以得出來.

具體解法可以掃碼(圖2)觀看.

2.2 第(2)問的分析與思維導圖

析題:第(2)問可以抽象為相鄰的弦長和的最小值問題,通過條件轉化化歸得到鄰邊垂直,因此本問可以分三個步驟考慮:步驟一弦長和的表示,步驟二變量的統(tǒng)一化,步驟三研究最小值.不妨設A,B,C三點在W上,則可得到下面的思維導圖(圖1):

圖1

【步驟1】弦長和的表示

解析幾何中的弦長問題,通常是從代數(shù)角度出發(fā),或設線,或設點;亦可以利用參數(shù)方程;當然個別情況會從圖形本身出發(fā),通過幾何角度來解決弦長問題.

【步驟2】變量統(tǒng)一化

步驟1得到的弦長和含有多個變量,多變量問題在高中階段常用的方法是減元,常見的減元方法有同構法、換元法、主元法、放縮法.觀察①式發(fā)現(xiàn),這個式子含兩個變量且內部結構不對稱,很容易想到主元法.若以k為主元式子形式復雜,以t為主元式子對稱且為雙絕對值和的形式,故選t為主元看成雙絕對值和的形式;同理③式以a為主元也是雙絕對值和的形式.所以對于①式可用去絕對值的方法得到

圖2

圖3 解題思路

【步驟3】研究最小值

求最小值常用的方法有求導法、二元基本不等式法、三元基本不等式法、柯西不等式法等.

對于⑤式,當k>1時,除了換元還可以上下同時除以k6,利用同構的思想,就可以得到和第一段相同的式子,直接得到結論.

提升：這道題的拋物線方程并非標準形式,但可以通過平移得到y(tǒng)=x2,因為平移并不影響周長的求解,且問題處理方式與前面都是一致的,得到的式子也相同,所以這道題也可以先平移再運算.

說明:沒有在文章中呈現(xiàn)的結論的證明、題目的具體解法,請掃碼(圖2)觀看.

3 試題感悟

3.1 厘清算理,提煉算法

本題指導學生將“所求”轉化為弦長和的最小值,從“已知”得到垂直關系,最終化歸為兩條垂直的弦長度和的最小值問題.先從步驟1即弦長的表示入手,不同入手方式形成不同的結果;研究多變量函數(shù)的最小值,統(tǒng)一變量是必經之路,于是進入步驟2;最后步驟3就是關鍵的運算環(huán)節(jié).這樣從算理到算法的思維過程,層層剝殼,培養(yǎng)了學生的高階思維能力.

3.2 融合滲透,提升素養(yǎng)

通過題意分析講解,促進學生核心素養(yǎng)的提升.從表示弦長的設線法、設點法的代數(shù)思維,到直線參數(shù)方程法、設角法的幾何思維,培養(yǎng)了學生的邏輯推理、直觀想象等能力;在步驟2統(tǒng)一變量中培養(yǎng)了學生的數(shù)據(jù)分析能力;在步驟3中,培養(yǎng)了學生的運算能力.再者,整個過程用思維導圖的形式梳理,讓思維可視化,提升學生的關鍵能力.

3.3 善于總結,提煉升華

高中數(shù)學多數(shù)知識難懂,不好記憶,教師要引導學生總結所學知識,幫助學生理解問題.

4 試題鏈接

(1)求曲線C的方程;