基于高中數學思維能力培養的“全景式”數學問題設計研究*

山東省桓臺第一中學 蘇同安 李曉玲

基于高中數學思維能力培養的“全景式”數學問題設計的研究,是針對高中數學各章節內容,研究設計出體現知識性質、思想方法、思維過程之全景的“全景式數學問題”(簡稱“一題釋全景”).旨在用“全景問題”解決“題海戰術”帶來的弊端,減輕師生負擔,提高學生學習興趣和教學效率效果,從而全面有效地培養學生的數學思維能力,促進各層面學生核心素養的提升和全面成長;同時,也為相關的教育教學理論落實運用提供“載體”支持.

1 全景式數學問題的概念

(1)全景

全景是指所涉及內容的基本知識性質、基本問題類型、基本思想方法、動態思維過程的全部或問題由易到難、層層遞進的結構全貌.

(2)全景式數學問題

全景式問題是針對某階段(本研究是高中階段)的數學各章節內容,能體現“知識問題、思想方法、思維過程”的全景且由易到難、層層遞進的“一道題”或“一個系列問題”,簡稱“一題釋全景”.

有的全景問題主要體現該章節的知識性質或問題類型的全景,有的主要體現思想方法或思維過程的全景,有的則兼而有之.教學中應根據各章節內容特點及關系研究設計全景問題,考慮是需要一個全景問題,還是需要多個或一系列全景問題來逐步體現各類全景.

2 全景式數學問題設計的意義

全景式數學問題設計的意義如下:

(1)培養數學思維能力,提升數學核心素養.

(2)優化數學思維品質,突破數學思維障礙.

(3)研創理論運用載體,支持相關方略落實.

(4)破解數學題海戰術,減輕師生教學負擔.

(5)激發學生學習興趣,提高學生學習效率.

(6)滿足各層學生需求,提升學生學習效果.

(7)提高教師研創能力,助推教師專業成長.

3 全景式數學問題設計的原則

(1)科學性

全景問題的設計,要遵循教育教學的科學規律,以相應的教育理論為指導,以高中數學課程標準為依據,運用科學合理的思想和方法;要充分體現高中數學教學的基本理念和內容目標,注重培養數學思維能力,提升數學核心素養;要符合高中學生的認知特點,有利于學生的成長和發展.

(2)全面性

《普通高中數學課程標準(2017年版)》的基本理念中要求:高中數學課程要面向全體學生,實現“人人都能獲得良好的數學教育,不同的人在數學上得到不同的發展”[1].

全景問題設計的“全面性”包括三個方面:一是針對所有學生,促進各層面學生全面成長;二是問題要全面,各章節都要設計出全景問題;三是問題要體現以上所述的全景.

(3)層次性

全景問題設計的“層次性”體現在三個方面:一是適合各層面學生的學習和探究,體現“最近發展區”等相關理論的有效落實運用;二是問題難易的層層遞進;三是數學思維的層層遞進.全景問題既可展現知識性質、思想方法的逐步生成和逐層聯系,體現知識性質、思想方法之全景,又可基于當前問題,進行追根求源、縱橫拓展的全面學習和逐步思悟,體現思維過程之全景.

(4)多元性

人們的數學思維方式和智能都是“多元”的,而且數學思維能力是數學核心素養的具體體現.比如,“抽象概括思維能力”可體現“數學抽象”核心素養;“邏輯思維能力”可體現“邏輯推理”核心素養;“形象思維能力”及“空間想象能力”可體現“直觀想象”核心素養;“數學運算能力”可體現“數學運算”核心素養;等等.數學核心素養、數學思維能力的提升和多元智能的全面發展是一個不可分割的有機整體,全景問題的設計應滿足這個整體的提升和發展.

(5)探究性

“數學問題”是培養學生素養與能力的重要“載體”.利用數學問題進行學習思考的本質就是一種重要的、有意義的數學探究活動.探究活動的質量不在于“題量”的多少,關鍵在于激發學生的探究愿望以及“思維量”的大小,所以設計的全景問題,要能充分體現激發學生“思維量”的探究性過程.

(6)創新性

全景問題設計要在體現教材的基本內容、要求的基礎上,滲透“大單元教學理念”,體現問題模式的創新.同時為相關教育理論方略的落實提供全面的課程資源支持,在理論方面體現出創新性.

實踐方面的創新性.可解決“題海戰術”帶來的弊端,提高學生學習興趣和效率,減輕師生負擔,全面有效地培養學生的數學思維能力[2].

4 全景式數學問題設計的策略

(1)設計“知識問題”方面的全景問題,體現數學思維全面性的培養

《普通高中數學課程標準(2017年版)》的基本理念中,特別強調了提升、發展學生“數學學科核心素養”的重要性.

數學思維能力是對數學學科核心素養所包含的六個維度要求的具體體現,并形成一個有機整體,教學中應注重數學思維能力的全面培養,不能追求片面.

設計“知識問題”方面的全景問題,融入數學思維這個有機整體,全面體現出對邏輯推理能力、抽象概括能力、空間想象能力、數學運算能力等數學思維能力的培養,助推學生數學思維品質的全面提升.

(2)設計“思想方法”方面的全景問題,體現數學思維靈活性的培養

數學思維的靈活性是指能根據客觀條件或事物的發展變化,善于多方位思考,及時恰當轉變思維方向、擺脫思維定式,提出解決問題的新方略或尋找新的解題途徑.體現出從不同角度、方面,用多種方法來分析、解決問題的能力[3].

數學思維的靈活性占據數學思維品質的重要位置,體現數學思維能力培養和靈活運用知識分析問題、解決問題的情況,對其培養非常重要.

設計“思想方法”方面的全景問題,可培養學生的數學思維能力,提升數學思維靈活性的品質.

(3)設計“思維過程”方面的全景問題,體現數學思維深刻性的培養

數學思維的深刻性是指思維活動的抽象程度和邏輯水平,以及思維活動的廣度、深度和難度.體現把握問題本質,對數學問題進行追根求源、縱橫拓展的思維能力,并在此基礎上進行探索創新的能力.

數學思維的深刻性占據數學思維品質的核心位置,體現透過現象看本質及舉一反三、觸類旁通的思維水平.對數學思維深刻性進行培養非常重要.

設計“思維過程”方面的全景問題,可培養學生的數學思維能力,提升數學思維深刻性的品質.

說明：由于數學思維的各種品質是一個有機的整體,因此設計全景問題,對思維的靈活性、深刻性進行培養,定會同步提升其他的思維品質,如思維的發散性、敏捷性、創新性及批判性.上文只是以思維的靈活性、深刻性為重點進行分析說明.

5 高中數學全景問題設計舉例及設計說明

針對高中數學各章節內容,依據全景問題設計模式,設計出對應的全景式問題.下面以立體幾何為例,設計一個立體幾何全景問題,并給出設計說明.

5.1 全景式問題案例

如圖1,四邊形ABCD是直角梯形,CD⊥BC,且AD∥BC,BC=2AD;四邊形BCEG是梯形,且BG∥CE,CE=2BG;四邊形DCEF是平行四邊形.

圖1

(1)求證:AG∥平面BDE.

(2)若BE=4BG,且∠EBG=60°,求證:平面DCEF⊥平面ABCD.

(3)在(2)的條件下,FB⊥DE,∠FDC=60°.求AG與平面BEF所成角的正弦值和二面角B-EF-D的余弦值.

(4)在(3)的條件下,線段AG上是否存在一點M,使得CM∥平面EFG?若存在,確定M的位置;若不存在,請說明理由.

(6)在(5)的條件下,且BG=1.若N是線段BE上一點,且二面角N-AC-B的大小為30°,試確定點N的位置,并求點N到平面FCB的距離及三棱錐N-FCB的體積.

(7)在(6)的條件下,若P是直線EF上的點,求EA與平面PBC所成角正切值的最大值;若P是以DC,DA,DF分別為長、寬、高的長方體棱上的一點,且滿足|PD|+|PE|=m(m>0)的點P的個數為4,求m的取值范圍.

(9)在(6)的條件下,取BC中點Q,動點W在以CD為底面半徑的圓錐BC的底面內(包括圓周),若DQ⊥WQ,求點W形成的軌跡長度;取BD中點S,求四面體EBCS外接球的體積及該球被幾何體的面ABCD,CDFE所截得的圓弧長之比;取CE中點T,若四面體TBCS內切球的內接圓錐(其高過球心)與內接正三棱柱的底面在同一平面內,求該圓錐的側面積與該正三棱柱的體積之比的最小值.

5.2 案例設計說明

該全景問題,以一個可變的“組合體”為載體,以兩條互融的“知識線”為導向,自然融合了點、線、面、體等的知識性質,動態展現了它們之間的各種關系及演變,形成知識性質全景,并層層遞進演變出問題類型全景,進而詮釋出思想方法、思維過程全景.

主線之一是重要的“平面圖形”與“點、線、面”的融合及關系演變.問題中的“四邊形EFDC”隨著問題的層層推進逐步演變為平行四邊形、菱形、矩形、正方形等各種四邊形;另一重要圖形“梯形ABCD”也相伴同行;直線CE與平面ABCD、平面EFDC與平面ABCD的關系也隨之形成“從不垂直到垂直的演變”.各要素演變與線線、線面、面面關系及演變密切相連.

主線之二是重要的“幾何體”與“點、線、面”的融合及關系演變.在重要的平面圖形與點線面關系的支持下,逐步演變出棱錐、棱柱、圓錐、球等重要幾何體及相關幾何體的“接切”關系,相關的重要元素如體積、面積、圓弧、側棱也相伴相隨.對這些重要元素的研究與求解,與點、線、面關系中的“距離”“角度”等重要量又緊密相連、不可分割.

(1)建構知識問題全景,體現思維全面性的培養

問題類型全景與知識性質全景同行,既有判斷、論證各種關系的基本問題,又有利用各種關系進行綜合性推理論證的問題;既有關于距離、角、面積、體積等重要量的運算求解問題,又有關于距離、角、面積、體積等要素的范圍最值的探究性問題;既有“正向型”典型問題,又有“逆向型”開放問題.這些問題不僅包含立體幾何各要素,還與代數要素產生密切聯系.

問題(1)與(2),是關于“平行垂直”的正向推理論證的基本問題,問題(3)～(5)是關于“平行垂直”的逆向推理運用與“異面角”“線面角”“二面角”的運算求解相融合的問題,證中有算,算中有證,充分體現出對邏輯推理、數學運算、空間想象等能力的全面培養;綜合問題(6)～(9),逐步融入多面體與旋轉體,加入關于距離、長度、面積、體積等元素的分析計算和相關量最值范圍的推演探究,在培養邏輯推理、數學運算、空間想象等能力的基礎上,體現對抽象概括能力、數據分析能力的培養,助推數學思維品質的全面提升.

(2)融入思想方法全景,體現思維靈活性的培養

該全景問題,以全面豐富、包容開放的背景和設問,融入了數學思想方法的全景,體現出對數學思想方法的對比選擇和全面思悟.

問題(1)的論證,線線平行法、面面平行法、向量法均可體現,各方法中還有不同思路的選擇;問題(2)中的垂直論證,可融入“算”的方法;問題(3)～(5)的解決,則是“幾何推演”與“向量運算”兩種主要思想方法的碰撞與融合;問題(6)～(9)中關于最值范圍的問題,更是與函數、三角、不等式,甚至是圓錐曲線等數學核心知識相結合,廣泛體現了等價轉化、函數與方程、數形結合等數學主要思想方法的運用及本質聯系.

此全景問題,可體現從不同角度用多種方法或選擇恰當方法分析解決問題的能力,助力突破思維定式障礙,提升數學思維靈活性的品質.

(3)生成思維過程全景,體現思維深刻性的培養

“思維量”比“題量”更重要,由可變組合體和兩條互融的知識線及問題與方法的全景,可體悟到全景問題設計注重數學思維的生成過程,關注數學思維的邏輯性、連續性和遞進性.

問題(7)中求m的范圍問題,既可看作從三維空間到二維平面的追根求源,又可縱橫拓展將問題一般化、抽象化,總結規律方法,還可與代數、三角產生聯系,展現數學知識的廣泛聯系和本質內涵,體現數學思維及思想方法的廣泛性、靈活性和深刻性.

該全景問題,能夠讓學習者對立體幾何、空間向量及相關的數學知識性質、思想方法,有一個全景式思悟和全面深刻的理解把握,進而做到舉一反三、熟練靈活運用,推動數學思維走向廣泛和深刻.