高中數學一道向量填空題說題

池屏雁

一、命題意圖

2016年起福建高考使用全國卷，全國卷選材源于課本又高于課本，命題堅持能力立意，關注通性通法，淡化特殊技巧，突出對數學思想方法的考查；注意發揮開放性、探索性試題的評價功能，關注檢測學生的學習潛能.

對平面向量的考查，常以選擇題、填空題的形式出現，屬容易題或中檔題，縱觀近幾年的高考，內容從原來的簡單概念和基本運算，逐步發展為與三角、解析幾何、不等式等整合的綜合問題.

筆者立足課本，深挖課本練習的試題價值，試圖編制既能訓練通性通法，又能以幾何為背景，“平面向量”為載體，代數運算為手段的題目，考查學生綜合應用數學知識的能力.

二、考點分析及其思想方法

核心知識：平面向量的基本定理，向量的坐標表示，向量運算，平面向量的數量積，待定系數法求參數值，兩條直線的交點坐標的方法，三角形外心的性質，正（余）弦定理等.

核心技能：運算求解能力，抽象概括能力、推理論證能力.

核心思想：數形結合思想，函數與方程思想，化歸與轉化思想.

主要考點及對應的考綱要求：

平面向量的基本定理及坐標表示：

（1）了解平面向量的基本定理及其意義.

（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.

（3）會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算.

（4）理解用坐標表示的平面向量共線的條件.

三、追根溯源

四、解法探究

平面向量類試題常規解題思路有如下四個方面：

（1）基底法；（2）坐標法；（3）幾何意義；（4）其他性質.

嘗試從以上這4個方面結合三角形的一些知識對題目1解法進行探究.

解法1：基底法

分析：根據人教A版教材必修4第108頁B組第4題的結論，題目1中AO是△ABC的外接圓半徑，AB，AC是△ABC的外接圓的弦，則有解法1.

解法3：幾何意義

分析：本題我們看到三角形的兩邊和其夾角已確定，則運用余弦定理，正弦定理，各邊大小和夾角都可以求出來.

綜合以上，我們可以很清楚地看到：基底法（解法1）、坐標法（解法2）更易于被學生接受，因此我們在平時復習備考的過程中要立足雙基，追求通性通法，這在高考中尤為重要.

五、學生可能出現的錯誤及分析

筆者在班級對該題解答情況做了個小調查，問了基礎一般的學生，他們都有初步思路，能入手，但是中途就感覺不知所措，能做出來的學生是平時比較拔尖的.

錯誤1：運算能力不過關；

錯誤2：對外心條件不知道如何應用；

錯誤3：沒想到課本習題和本題的聯系。

由此可見，在學習中對教材的挖掘之淺，對課本習題的研究浮于表面.

錯誤4：對問題的理解及綜合地應用知識分析問題、解決問題能力較弱，導致不能將問題合理地轉化與化歸.

而探究能力恰恰對很多學生來說是很薄弱的.

六、開拓創新

我們可以再從以下角度作拓展：（1）三角形化；（2）最值化；（3）函數化；（4）方程化，以研究教材促進高考復習，開拓創新.

分析：此題將題目1中的角度隱去，加了一個銳角三角形，這樣就可以轉化為求p+q的取值范圍.

七、試題價值

平面向量是高中數學的重要內容，由于它具有代數形式和幾何形式的“雙重身份”，融思想性和工具性為一體，可以溝通代數與幾何的許多分支并使之建立起多元聯系，本題充分發掘課本習題的價值，求解過程關注通性通法，注意通性通法的訓練，同時本題解法多樣，可多角度變式拓展，培養學生一題多解、訓練和培養學生優秀思維品質.本題既考查了學生數學思維的靈活性、發散性，又考查了學生數學思維的敏銳性與創新性，是一道重通解、有內涵、能力立意、重視思想的向量題.

八、感悟與反思

通過這次說題，筆者獲益良多，認識到在平時的教學過程中要注意以下三個方面：

1.注重通性通法的應用：培養學生良好的學習習慣，經常對所學的知識和題型進行總結歸納，尋找規律和突破口.

2.引導學生多解法、多視角地思考問題和發現問題，通過對典型題目進行“一題多解、一題多變、多題同解”的訓練，幫助學生建構和完善知識網絡，培養學生良好的思維品質.

3.立足教材，透視問題的本質，充分善于挖掘高考題的背景.