地震作用下巖石裂紋擴(kuò)展角度研究

高丙麗,曹孝杰

(西安科技大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院,陜西 西安 710054)

0 引 言

無(wú)論是危巖體,還是礦山、巖質(zhì)邊坡、隧道等巖體工程中的巖石,他們?cè)谕饨绛h(huán)境中的破裂與失穩(wěn),都是其內(nèi)部微裂紋起裂、擴(kuò)展、貫通的宏觀表現(xiàn)[1-3]。因此,對(duì)巖石中裂紋擴(kuò)展特性進(jìn)行研究,一直是當(dāng)今巖石破壞與失穩(wěn)研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。巖石裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則及其相關(guān)判據(jù)的研究已經(jīng)受到許多關(guān)注[4-5],但是動(dòng)荷載作用下,尤其是地震等波動(dòng)作用下的裂紋擴(kuò)展特性研究仍存在很多不足。建立適用于地震作用下的裂紋動(dòng)態(tài)擴(kuò)展判據(jù),是準(zhǔn)確分析地震作用下巖體工程穩(wěn)定性的前提。

廣義最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則(GMTS)被廣泛應(yīng)用于巖石裂紋擴(kuò)展研究中,但是其僅考慮了節(jié)理尖端應(yīng)力場(chǎng)分布中奇異應(yīng)力項(xiàng)的影響,而忽略了非奇異應(yīng)力項(xiàng)(T應(yīng)力)的影響[6-8]。隨著研究逐漸深入,學(xué)者發(fā)現(xiàn)T應(yīng)力對(duì)裂紋擴(kuò)展方向,擴(kuò)展角度及裂紋擴(kuò)展穩(wěn)定性等方面都存在一定影響。COLOMBO等認(rèn)為正T應(yīng)力會(huì)使得裂紋尖端應(yīng)力集中更為明顯,而負(fù)T應(yīng)力則會(huì)屏產(chǎn)生屏蔽效應(yīng),這使得斷裂韌度會(huì)隨著T應(yīng)力的改變而改變[9]。MATVIENKO等對(duì)石灰?guī)r混合型裂紋的斷裂擴(kuò)展角進(jìn)行預(yù)測(cè),發(fā)現(xiàn)考慮T應(yīng)力后斷裂擴(kuò)展角與試驗(yàn)結(jié)果更為接近[10]。SIMTH等研究了復(fù)合型外荷載作用下,當(dāng)裂紋為直線形時(shí),T應(yīng)力對(duì)其開(kāi)裂角度和脆性斷裂的影響[11]。但是上述研究結(jié)果均只考慮了T應(yīng)力沿裂紋面方向的應(yīng)力分量Tx,隨著研究的深入,學(xué)者對(duì)平行和垂直于裂紋表面的T應(yīng)力分量同時(shí)展開(kāi)了研究。LI等研究了壓縮條件下的閉合裂紋,發(fā)現(xiàn)沿裂紋方向的分量Tx和垂直于裂紋方向的分量Ty在裂紋尖端同時(shí)存在,并發(fā)現(xiàn)Tx將減小翼裂紋起裂角,并增加Ⅱ型裂紋的斷裂韌度,而Ty則增加翼裂紋起裂角,并增加Ⅱ型裂紋的斷裂韌度[12]。唐世斌等發(fā)現(xiàn)非奇異應(yīng)力項(xiàng)Tx,Ty會(huì)影響壓剪巖石裂紋起裂及擴(kuò)展[13]。王俊杰等引入相對(duì)鈍化系數(shù)和相對(duì)臨界尺寸,建立了考慮裂縫幾何特性和Tx,Ty的壓剪張拉斷裂準(zhǔn)則。學(xué)者們對(duì)T應(yīng)力的研究使得最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則的使用范圍和精確性得到了提高[14]。

現(xiàn)有研究大部分只考慮了平行(Tx)和垂直(Ty)于裂紋表面的T應(yīng)力分量,而忽略了T應(yīng)力分量Txy。而且研究集中在靜力或擬靜力作用下的巖石,對(duì)動(dòng)荷載作用下,尤其是地震等波動(dòng)作用下的裂紋擴(kuò)展特性研究仍存在很多不足。在地震等波動(dòng)作用下,巖石裂紋面可能會(huì)發(fā)生閉合,此時(shí)裂紋面之間將在外力作用下相互影響并產(chǎn)生摩擦作用。摩擦力的存在勢(shì)必阻止裂紋面的相互滑動(dòng),因此Txy不應(yīng)被忽略。更關(guān)鍵的是學(xué)者對(duì)動(dòng)荷載作用下的裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則研究聚焦于對(duì)動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解上。隨著應(yīng)變片以及光學(xué)測(cè)量技術(shù)的發(fā)展,學(xué)者們對(duì)相對(duì)位移法[15]、J積分法[16]、應(yīng)變片法[17]等動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算方法展開(kāi)了研究,并且取得了一些成果[18-20]。但是卻忽略了動(dòng)荷載本身也會(huì)對(duì)裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)產(chǎn)生影響,這使得采用現(xiàn)有裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則無(wú)法很好的預(yù)測(cè)地震等動(dòng)荷載作用下的巖石裂紋擴(kuò)展。

通過(guò)考慮T應(yīng)力三分量及地震作用,對(duì)GMTS準(zhǔn)則進(jìn)行了修正,使其能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)地震作用下的巖石裂紋擴(kuò)展角度。并采用霍普金森拉桿試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)其可靠性進(jìn)行驗(yàn)證。針對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)較少的情況,基于Bayes理論,采用Open BUGS語(yǔ)音編寫(xiě)了巖石領(lǐng)域小樣本問(wèn)題后驗(yàn)分布估計(jì)程序,從而對(duì)試驗(yàn)和理論推導(dǎo)數(shù)據(jù)進(jìn)行再處理,形成均值化指標(biāo),進(jìn)一步驗(yàn)證了修正GMTS準(zhǔn)則的有效性。

1 修正GMTS準(zhǔn)則的推導(dǎo)

裂隙巖石常處于多向受壓的力學(xué)環(huán)境中,其裂紋擴(kuò)展力學(xué)模型可以簡(jiǎn)化如圖1所示。

圖1 裂隙巖石壓縮條件下裂紋擴(kuò)展力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of crack propagation under fractured rock compression

圖1中,裂紋傾角為β,軸向壓力為σ1,圍壓為σ3,f為裂紋面摩擦系數(shù)。

分析地震作用對(duì)巖體應(yīng)力狀態(tài)影響的常用方法是將地震力轉(zhuǎn)化為應(yīng)力形式。其步驟為先將地震波的加速度利用公式變換成速度時(shí)程,然后根據(jù)巖石動(dòng)力學(xué)中的波動(dòng)理論公式,即可得到地震產(chǎn)生的動(dòng)應(yīng)力公式。

考慮地震作用的裂隙巖石裂紋擴(kuò)展力學(xué)模型如圖2所示。其在壓縮條件下的裂紋擴(kuò)展力學(xué)模型的基礎(chǔ)上,考慮了地震產(chǎn)生的豎向應(yīng)力σn和地震產(chǎn)生的水平應(yīng)力σs。

圖2 地震作用下巖石擴(kuò)展力學(xué)模型Fig.2 Mechanical model of rock crack propagation under earthquake action

為了研究地震作用對(duì)巖石裂紋擴(kuò)展的影響,取裂紋尖端微單元(圖3)進(jìn)行分析。其中r為極徑;θ為極角;σθ,σr和τrθ分別為周向應(yīng)力、徑向應(yīng)力和剪應(yīng)力。

圖3 裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)Fig.3 Crack-tip stress fields

為了更加直觀的表達(dá)裂紋尖端的應(yīng)力場(chǎng),WILLIAMS將裂尖應(yīng)力場(chǎng)展開(kāi)為滿足裂紋面應(yīng)力邊界條件的一系列特征函數(shù)的求和[21],其中奇異應(yīng)力項(xiàng)為KⅠ或KⅡ,在裂紋尖端起主導(dǎo)作用。非奇異應(yīng)力項(xiàng)即T應(yīng)力,對(duì)裂紋尖端的影響隨著臨界尺寸的增大而增大。現(xiàn)有研究大部分只考慮了平行(Tx)和垂直(Ty)于裂紋表面的T應(yīng)力分量,而忽略了T應(yīng)力分量Txy。在地震等波動(dòng)作用下,巖石裂紋面可能會(huì)發(fā)生閉合,此時(shí)裂紋面之間將在外力作用下相互影響并產(chǎn)生摩擦作用。摩擦力的存在勢(shì)必阻止裂紋面的相互滑動(dòng),因此不應(yīng)被忽略。

同時(shí)要準(zhǔn)確計(jì)算地震荷載下的T應(yīng)力,就必須考慮地震對(duì)T應(yīng)力的影響。上文已得到地震所產(chǎn)生的豎向應(yīng)力σn和水平應(yīng)力σs,將其代入T應(yīng)力中,即可得到考慮了地震作用的T應(yīng)力三分量。將考慮了地震作用的T應(yīng)力三分量引入裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng),并取最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則的裂紋擴(kuò)展臨界狀態(tài),即可得到考慮T應(yīng)力三分量的最大周向應(yīng)力裂紋擴(kuò)展角度判據(jù)。

為了更加直觀的體現(xiàn)修正GMTS判據(jù)與GMTS判據(jù)的區(qū)別,以中心直裂紋巴西圓盤(pán)模型(圖4)為例,取縱向載荷P=10 MPa,彈性模量E=20 GPa,泊松比μ=0.2,并假設(shè)無(wú)量綱特征距離d=0.5,σn,σs均取零,并使用MTS、GMTS、修正GMTS準(zhǔn)則計(jì)算裂紋擴(kuò)展角度預(yù)測(cè)值(圖5)。

圖4 中心直裂紋巴西圓盤(pán)模型Fig.4 Brazilian disc model with central straight crack

圖5 裂紋擴(kuò)展角度與傾角的關(guān)系Fig.5 Relationship of crack propagation angle and indination angle

在裂紋傾角大于45°時(shí),MTS裂紋擴(kuò)展角度預(yù)測(cè)值(黑色曲線)大于GMTS裂紋擴(kuò)展角度預(yù)測(cè)值(紅色曲線)和修正GMTS裂紋擴(kuò)展角度預(yù)測(cè)值(藍(lán)色曲線),說(shuō)明T應(yīng)力對(duì)擴(kuò)展角存在抑制作用,減小了擴(kuò)展角。在裂紋傾角小于45°時(shí),則恰好相反,T應(yīng)力會(huì)使擴(kuò)展角增大。

而GMTS、修正GMTS裂紋擴(kuò)展角度預(yù)測(cè)值曲線存在多處交叉點(diǎn),表明地震作用對(duì)裂紋擴(kuò)展角度沒(méi)有明顯的促進(jìn)或抑制作用,相對(duì)于原始判據(jù)是否更加準(zhǔn)確,可通過(guò)試驗(yàn)測(cè)得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

2 試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

聚甲基丙烯酸甲酯材料(PMMA)在低溫下會(huì)呈現(xiàn)良好的脆性,可以近似模擬巖石的脆性破裂行為,而且其均質(zhì)性可減小材料性質(zhì)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響。諶赫采用PMMA材料制備MCTS試樣作為樣品,并采用霍普金森拉桿試驗(yàn)系統(tǒng)以30°、45°、60°分別對(duì)MCTS試樣進(jìn)行加載(圖6)[22]。

圖6 分離式霍普金森拉桿試驗(yàn)系統(tǒng)Fig.6 Split Hopkinson tension bar test system

加載后試樣破碎成若干塊,并在孔邊發(fā)生破壞(圖7)。特別是加載角度30°的試樣在預(yù)制裂紋和切口處出現(xiàn)多個(gè)不同方向的裂紋,并觀察到裂紋擴(kuò)展方向發(fā)生拐折,這是由于裂紋發(fā)生擴(kuò)展之后加載并沒(méi)有停止而造成的持續(xù)破壞,因此應(yīng)以預(yù)制裂紋尖端處的初始擴(kuò)展方向?yàn)闇?zhǔn)測(cè)量起裂角度。

圖7 開(kāi)裂的MCTS試樣Fig.7 Cracked MCTS specimen

基于試驗(yàn)測(cè)得數(shù)據(jù),使用文獻(xiàn)[23]提出的方法,得到加載角度為30°、45°、60°時(shí)MCTS試樣的動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子曲線(圖8)。

圖8 MCTS試樣動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子 Fig.8 Dynamic stress intensity factor

當(dāng)加載角度為30°和45°時(shí),應(yīng)力強(qiáng)度因子存在震蕩現(xiàn)象,其原因是MCTS試樣與夾具存在裝配間隙,從而導(dǎo)致加載過(guò)程中試樣孔邊發(fā)生局部滑動(dòng),其應(yīng)力波的傳播路徑也會(huì)發(fā)生偏折。從圖7也可以看出,破壞后的試樣在孔邊發(fā)生一定程度的塑性變形,在加載角度為30°時(shí)尤為明顯。

不同加載角度的MCTS試樣裂紋均在0.785 ms附近開(kāi)始擴(kuò)展,這表明加載角度對(duì)MCTS試樣擴(kuò)展時(shí)間影響不大。不同加載角度下,KⅠ和KⅡ雖然大小不一樣,但是其變化的趨勢(shì)基本相同。尤其是加載角度為30°時(shí),在0.735～0.785 ms,KⅠ和KⅡ的變化趨勢(shì)高度相似,這驗(yàn)證了文獻(xiàn)[24]采用MCTS試樣來(lái)控制復(fù)合比加載的可行性。同時(shí),和 變化趨勢(shì)相同也證明試驗(yàn)所測(cè)得數(shù)據(jù)較為準(zhǔn)確,則采用該試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)修正GMTS準(zhǔn)則進(jìn)行驗(yàn)證的可信度較高。

采用GMTS判據(jù)、修正GMTS判據(jù)分別計(jì)算加載角度為30°、45°、60°情況下的擴(kuò)展角度預(yù)測(cè)值,其中Rc=2 mm。圖9為0.700～0.785 ms的MCTS試樣擴(kuò)展角度預(yù)測(cè)值。

圖9 擴(kuò)展角度預(yù)測(cè)值Fig.9 Prediction value of crack initiation angle

在3種加載角度下,修正GMTS判據(jù)與GMTS判據(jù)在裂紋擴(kuò)展時(shí)刻的裂紋擴(kuò)展角度預(yù)測(cè)值之間的差距并不大。但是修正GMTS判據(jù)預(yù)測(cè)的最大值大于GMTS判據(jù),而最小值小于GMTS判據(jù),這使得兩種判據(jù)的幅值之差已較為明顯。可以預(yù)測(cè),在振幅大,持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)的強(qiáng)震作用下,兩種判據(jù)的預(yù)測(cè)值之間的差距會(huì)進(jìn)一步擴(kuò)大。

將修正GMTS判據(jù)則與GMTS判據(jù)在裂紋擴(kuò)展時(shí)刻的裂紋擴(kuò)展角度預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)測(cè)得的裂紋擴(kuò)展角度匯總見(jiàn)表1。采用修正GMTS判據(jù)對(duì)裂紋擴(kuò)展角度行預(yù)測(cè),其平均誤差相對(duì)于GMTS判據(jù)由-1.60°變?yōu)榱?1.37°,擴(kuò)展角度方差由3.16減少到了2.40,預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度明顯提升。但是文獻(xiàn)[23]由于只有3個(gè)MCTS試樣,只得到了3組裂紋擴(kuò)展角度數(shù)據(jù)。雖然已經(jīng)使用PMMA材料來(lái)排除材料性質(zhì)對(duì)結(jié)果的影響,但由于試驗(yàn)操作、試驗(yàn)設(shè)備等不可控因素,試驗(yàn)結(jié)果與真實(shí)值之間仍會(huì)存在一定的誤差。但由于試驗(yàn)樣本數(shù)過(guò)少,采用常規(guī)數(shù)值擬合的方式會(huì)使得結(jié)果偏差較大,而數(shù)值模擬方法更多的是用來(lái)對(duì)規(guī)律進(jìn)行分析。Bayes方法在處理這種小樣本問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用。

表1 MCTS試樣裂紋擴(kuò)展角度預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值對(duì)比

3 修正GMTS準(zhǔn)則可靠性

Bayes方法[25-26]的核心是通過(guò)引入新的信息來(lái)對(duì)當(dāng)前結(jié)果進(jìn)行不斷的修正,伴隨引入信息量的增加,評(píng)估結(jié)果與真實(shí)結(jié)果也會(huì)越發(fā)接近。但想要獲得準(zhǔn)確的參數(shù)值,需要大量的數(shù)據(jù)作為支撐,其成本花費(fèi)巨大。計(jì)算機(jī)的發(fā)展使得樣本的迭代變得簡(jiǎn)便,而更多次數(shù)的迭代讓結(jié)果變得更加準(zhǔn)確。

Bayes理論在裂紋領(lǐng)域小樣本問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用[27],其主要步驟如下。

先驗(yàn)分布的確定是后續(xù)計(jì)算的前提,合適的先驗(yàn)分布的選取能減少計(jì)算工作量并提升結(jié)果準(zhǔn)確度。Weibull分布在可靠性評(píng)價(jià)中的應(yīng)用較為廣泛,對(duì)于巖石可靠性評(píng)價(jià)也具有良好的適用性,選用Weibull分布作為先驗(yàn)分布。

聯(lián)合分布的推導(dǎo)是將Weibull分布與Bayes理論聯(lián)系的關(guān)鍵。將Weibull分布的概率密度函數(shù)代入Bayes公式,計(jì)算得到聯(lián)合分布的似然函數(shù)。

后驗(yàn)分布的準(zhǔn)確求解是方法的核心,求解的準(zhǔn)確性直接決定可靠性研究的準(zhǔn)確性。由于Weibull分布的復(fù)雜性,其參數(shù)后驗(yàn)分布無(wú)法通過(guò)解析式求解,需借助計(jì)算機(jī)編程對(duì)其進(jìn)行計(jì)算。通過(guò)Open BUGS軟件運(yùn)行Gibbs算法求解Bayes后驗(yàn)概率,采用BUGS語(yǔ)言開(kāi)發(fā)了巖石領(lǐng)域小樣本后驗(yàn)分布估計(jì)程序。

設(shè)置2條chains,進(jìn)行一萬(wàn)次迭代,當(dāng)2條chains圖像均在固定區(qū)域內(nèi),且幅值相近,則表示此時(shí)MCMC算法已收斂,可進(jìn)行參數(shù)分析。設(shè)置迭代次數(shù)為十萬(wàn)次,退火次數(shù)為一萬(wàn)次,形狀參數(shù)K和尺度參數(shù)λ迭代過(guò)程如圖10、圖11所示。

圖10 形狀參數(shù)迭代歷史Fig.10 Iterative history of shape parameters

圖11 尺度參數(shù)迭代歷史Fig.11 Iteration history of scale parameters

通過(guò)對(duì)比形狀參數(shù)與尺寸參數(shù)迭代歷史圖可以發(fā)現(xiàn),形狀參數(shù)的迭代數(shù)據(jù)相比于尺寸參數(shù)更為離散。這是因?yàn)樵赪eibull分布中,形狀參數(shù)是以指數(shù)函數(shù)的形式對(duì)整體分布產(chǎn)生影響,而尺寸參數(shù)是以一次函數(shù)的形式對(duì)整體分布產(chǎn)生影響,所以尺寸參數(shù)的曲線更為連貫,表現(xiàn)為圖11相對(duì)于圖10,其曲線更為密集。兩條曲線的迭代值始終在固定范圍內(nèi),整體結(jié)果為收斂,證明先驗(yàn)分布的選取是合理的。

取中位數(shù)作為參數(shù)估計(jì)的結(jié)果,則K=6.941,λ=52.89。由Weibull分布的均值計(jì)算公式計(jì)算可得E=49.45。同理,可計(jì)算得到GMTS準(zhǔn)則的裂紋擴(kuò)展角度均值為48.96°,試驗(yàn)擴(kuò)展角度均值為50.64°。

E不代表具體的裂紋擴(kuò)展角度,其意義為在材料和其他加載條件確定的情況下,當(dāng)加載角度處于30°～60°時(shí),該材料所有可能擴(kuò)展角度的均值。試驗(yàn)與修正GMTS準(zhǔn)則、GMTS準(zhǔn)則之間的裂紋擴(kuò)展角度均值之差分別為1.19°和1.68°。可以看出,采用修正GMTS準(zhǔn)則對(duì)裂紋擴(kuò)展角度進(jìn)行預(yù)測(cè),其誤差相對(duì)于GMTS準(zhǔn)則由3.32%降低到了2.35%。

4 結(jié) 論

1)基于最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則,同時(shí)考慮T應(yīng)力三分量及地震作用,推導(dǎo)出適用于地震荷載作用下的巖石裂紋擴(kuò)展角度判據(jù)。

2)不同加載角度情況下,MCTS試樣的KⅠ和KⅡ變化趨勢(shì)基本相同,驗(yàn)證了MCTS試樣可以通過(guò)施加位移約束,實(shí)現(xiàn)可控模式復(fù)合比的復(fù)合型加載。KⅠ和KⅡ變化趨勢(shì)相同也證明試驗(yàn)所測(cè)得數(shù)據(jù)較為準(zhǔn)確,則采用該試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)修正GMTS準(zhǔn)則進(jìn)行驗(yàn)證的可信度較高。

3)采用霍普金森拉桿試驗(yàn)結(jié)果和貝葉斯理論對(duì)修正最大周向應(yīng)力裂紋擴(kuò)展判據(jù)的可靠性進(jìn)行驗(yàn)證,其結(jié)果表明修正判據(jù)相對(duì)于原始判據(jù)在地震等波動(dòng)作用下的預(yù)測(cè)結(jié)果更為準(zhǔn)確。