無速度主動磁懸浮軸承系統全頻域不平衡控制

羅浩杰, 劉江, 王斌, 張波濤

(1.武漢科技大學 信息科學與工程學院,湖北 武漢 430081; 2.武漢工程大學 電氣信息學院,湖北 武漢 430205;3.武漢科技大學 計算機科學與技術學院,湖北 武漢 430081)

0 引 言

主動磁軸承(active magnetic bearings,AMB)因其具有無機械接觸、免潤滑、可在高速下長期運行和軸承剛度可調等優點,在高速主軸、離心壓縮機及飛輪儲能系統等高速旋轉機械領域受到越來越多的關注[1-5]。

轉子材料特性的不一致以及加工精度和安裝誤差等因素都會造成轉子的質量不平衡,而質量不平衡產生的不平衡力會激起與轉子同頻的不平衡振動。在高速旋轉機械運行時,不平衡振動不但會影響系統對轉子的控制精度,嚴重時甚至會影響系統的安全運行。近年來,國內外學者針對不平衡振動的控制策略主要分為兩種:一種為不平衡補償,迫使轉子繞其幾何軸旋轉,旨在實現“零轉子位移”,但轉子產生的反作用力會作用于底座上,并且高速運行下容易導致功放電路飽和;另一種為自動平衡,迫使轉子繞其慣性軸旋轉,旨在實現“零電流或零振動力”,這種方法可以顯著降低不平衡力,并避免功放電路飽和,因此也受到了更多研究人員的關注,最小均方(least mean square,LMS)算法[6]、同步旋轉坐標變換[7]、廣義陷波器[8]、重復控制[9]、自適應強制平衡[10]等控制算法被相繼提出。

上述算法均需要轉子的角頻率反饋才能實現,在實際中通常由霍爾傳感器、光電編碼器等獲得,然而,測速傳感器在許多應用中都存在一些限制,包括機械安裝困難、機器尺寸有限等問題,且一旦測速傳感器存在較大誤差或發生故障時,控制系統將無法獲得準確的轉速信號。因此,需要在轉子不平衡信號中估計轉子的實際轉速。針對磁懸浮轉子的角頻率估計問題,Lee等[11]提出了角位置微分來估計轉子轉速,但該方法很容易引進噪聲。張染等[12]將轉子位移信號中的高倍頻分量通過Hilbert變換進行經驗模態分解,從而通過Hilbert譜分析得到轉速信號,該方法雖然精度有所提高,但倍頻分量在低速時不穩定,勢必影響轉子系統全頻范圍下的穩定運行。劉虎等[13]根據已知的位移信號和轉速信號構建反向傳播(back propagation,BP)神經網絡模型,并通過參數調整達到良好的測速精度,但該方法過度依賴轉子系統的初始位移和轉速數據,且計算量較大。Chen等[14]利用磁軸承x和y方向位移信號正交且振幅相等來估計頻率,但x、y兩方向位移由于安裝誤差等原因并不時刻滿足相互正交和振幅相等,且該方法無法保證轉子低速旋轉時的系統穩定性。Liu等[15]針對文獻[14]方法低速段失穩的問題,在原有自適應陷波器結構上加上了相移角,但x、y兩方向位移信號相位和振幅的誤差勢必會對算法的補償效果造成較大的影響。

二階廣義積分-鎖頻環(second order generalized integrator-frequency locked loop,SOGI-FLL)已廣泛應用于頻率估計和相位鎖定領域中,包括電網同步信號提取[16-18]和永磁同步電機的速度估計[19-20]。本文將SOGI-FLL引入主動磁軸承轉子系統的角頻率估計應用中,構建基于改進型SOGI-FLL(enhanced SOGI-FLL,ESOGI-FLL)的主動磁軸承轉子系統同步振動力抑制方法,在反饋控制的基礎上增加位移前饋補償環節,以獲取更好的振動抑制效果。然后,利用根軌跡法分析加入SOGI-FLL的主動磁軸承轉子系統的穩定性,并基于此設計變增益系數,實現嵌入SOGI-FLL的磁軸承轉子系統低速旋轉時的系統穩定。最后,通過仿真分析驗證該方法的可行性。

1 磁懸浮轉子不平衡擾動模型

AMB轉子系統模型如圖1所示。轉子軸向自由度由永磁軸承所約束,徑向的4個自由度分別由左右的2個電磁軸承約束。轉子的最大轉速遠小于一階彎曲模態頻率,因此以下建模分析都只考慮轉子的剛性模態。設O-xyz坐標系為轉子中心平面對應坐標系。

圖1 四自由度AMB剛性轉子系統結構圖Fig.1 Structure of 4-degree-of-freedom AMB rotor system

設轉子的質量為m,la和lb分別是左右兩端徑向磁軸承所在平面到C點的距離,l是左右兩端磁軸承所在平面之間的距離,J為轉子繞x、y軸旋轉的轉動慣量,Jz為轉子繞z軸旋轉的轉動慣量,xa、ya和xb、yb分別是兩端位移傳感器測得的磁軸承徑向位移,則轉子幾何中心處的位移和轉動角度為:

(1)

為了便于分析磁懸浮轉子系統的運動方程,特做如下假設:1)轉子為軸對稱轉子,兩端的AMB結構參數都相同;2)位移傳感器與AMB在轉子軸向位置重合。

根據牛頓第二定律可得徑向四自由度轉子的運動微分方程為:

(2)

式中:fxa、fya和fxb、fyb分別為左右兩端磁軸承產生的電磁力;fx和fy為干擾力。

為了便于分析不平衡下的轉子動力學模型,取轉子截面建立坐標系,如圖2所示,轉子幾何中心C和質心G不重合。設轉子幾何中心C在固定坐標系O-xy中的坐標為(xc,yc),質心G在固定坐標系O-xy中的坐標為(xg,yg),Ω為轉子的轉速。

圖2 轉子截面示意圖Fig.2 Schematic diagram of rotor section

轉子質心與幾何中心坐標之間的關系可以表示為:

(3)

式中:e為轉子的偏心距;φ為轉子旋轉角度。

將式(3)代入式(2)可得轉子不平衡力在x,y軸上的分量為:

(4)

結合式(2)和式(4)可得含不平衡量的轉子系統運動微分方程為:

(5)

式中ez為質心G在oz軸上的投影。

2 基于ESOGI-FLL的全頻域自動平衡控制

2.1 基于SOGI-FLL的振動信號角頻率辨識

圖3為SOGI-FLL的結構框圖,其主要由SOGI-正交信號發生器(SOGI-quadrature signal generator,SOGI-QSG)和FLL兩部分組成。

圖3 SOGI-FLL結構框圖Fig.3 Structure of SOGI-FLL

由圖3可知,SOGI-QSG的狀態空間方程可以表示為

(6)

式中:k是一個常數;u1=Asin(Ωt+δ),A為輸入信號的幅值,δ為初始相位;Ω為轉子角頻率。

由式(6)可知,從輸入信號u1到輸出信號x1和x2的傳遞函數為

(7)

令s=jω,當k≠0時,式(7)可以表示為:

(8)

式中ΔΩ是一個很小的值,且其值遠小于Ω。

FLL估計頻率可由反正切函數得到,其表達式為

(9)

(10)

將式(10)代入式(9)中,可得

(11)

式中γ是一個恒為正的收斂因子。

式(11)說明FLL頻率估計的收斂性與兩相輸出幅值的平方和、輸入信號頻率和SOGI-QSG的增益都有關,那么圖3中將增益歸一化后,FLL的頻率估計特性就只與一個參數γ有關,簡化了后續的參數設計。

結合式(6)和式(11)可得,SOGI-FLL的狀態方程可以表示為:

(12)

圖4為加入SOGI-FLL的磁軸承轉子系統的同步電流控制框圖。

圖4 磁軸承轉子系統的同步電流控制框圖Fig.4 Block diagram of synchronous current control for AMB-rotor system

2.2 基于ESOGI-FLL的無速度同步不平衡振動力控制

AMB轉子系統的同步振動力可以表示為

F=Fi+Fx=kii(xa)+kxxa。

(13)

式中:xa表示轉子位移;i(xa)表示電磁線圈的電流,是xa的函數。轉子位移xa中存在與轉速同頻的不平衡振動,因此Fi和Fx中都存在與轉速同頻的分量。

由于同步電流的抑制只消除了電流剛度力Fi,磁軸承轉子系統中仍然存在位移剛度力Fx。為了最大程度地抑制不平衡振動,在圖4的基礎上增加位移剛度力前饋補償模塊,實現同步振動力的抑制,如圖5所示。

圖5 基于ESOGI-FLL的磁懸浮轉子同步不平衡振動力控制Fig.5 Synchronous unbalance vibration force suppression of AMB-rotor system using ESOGI-FLL

對式(13)進行Laplace變換,可得

kiA(s)C(s)[Gs(s)xa(s)-x1(s)]。

(14)

當基于SOGI-FLL的陷波器能正確跟蹤鎖頻時,可得x1=Gs(s)d,那么式(14)可以改寫為

F(s)=[kx+kiA(s)C(s)Gs(s)][xa(s)-d(s)]。

(15)

從式(15)可知,增加位移前饋環節后,同步振動力抑制為0,實現了剛性轉子的自動平衡。基于ESOGI-FLL的磁懸浮轉子系統同步振動力控制方法如圖5所示,其等效框圖如圖6所示。圖5中,ε0為增益系數。

由圖3可知,二階廣義積分器u1到e的傳遞函數可以表示為

(16)

令s=jω且k≠0時,式(16)可改寫為:

(17)

式中ΔΩ為二階廣義積分器的帶寬,其值只與增益k有關。

圖7為不同增益k下二階廣義積分器的頻率特性。由圖可知,二階廣義積分器效果實際上與陷波器類似,且帶寬隨著增益k的增大而變大。

主動磁軸承采用PID控制,其傳遞函數可以表示為

(18)

式中:kP為比例系數;kD為微分系數;kI為積分系數。

功率放大器的傳遞函數可以看作是具有放大系數的零階系統,即A(s)=ka,而位移傳感器則不考慮其動態特性,將其視為比例環節,即Gs(s)=ks。

由圖3可知,二階廣義積分器中e到x1的傳遞函數可表示為

(19)

2.3 無速度閉環控制系統穩定性和性能分析

由圖6可知,主動磁軸承-轉子系統的閉環特征方程為

(20)

將式(16)、式(18)和式(19)代入式(20),整理可得

ms5+(Ωmε0k+kakskikD)s4+(Ω2m+kakskikP-kx)s3+[kakskikDΩ2-Ω(kkx+kkxε0)+kakskikI]s2+Ω2(kakskikP-kx)s+Ω2kakskikI=0。

(21)

令

(22)

那么式(14)可以表示為

ms5+a1s4+a2s3+a3s2+a4s+a5=0。

(23)

根據勞斯判據可知磁懸浮控制系統穩定的充要條件為:

(24)

由式(24)可知,系統穩定的充要條件與開關ε0和轉速Ω有關。為了說明AMB轉子系統的穩定性,以Ω(rad/s)為變量,分別繪制了ε0=1和ε0=-1時,1～500 Hz(步長為5 Hz)范圍內轉子系統的閉環根軌跡,如圖8所示。

由式(24)和圖8(a)分析可得,當ε0=1時,當轉子轉速低于86.1 Hz時,系統具有右半平面的極點,系統不穩定;當轉速高于86.1 Hz時,系統閉環根軌跡通過虛軸進入左半平面,系統穩定。可見,在基于SOGI-FLL的不平衡控制方法中,轉子系統無法在比剛體臨界轉速低的速度下穩定運行。

由圖8(b)分析可得:當ε0=-1時,當轉子角速度低于116.1 Hz時,系統的閉環極點均位于虛軸左半平面,系統穩定,但高于116.1 Hz時,閉環根軌跡進入虛軸右半平面,導致系統不穩定。磁懸浮剛性轉子的臨界轉速區域為86.1～116.1 Hz。

由式(16)可知,增益系數ε0的大小沒有改變基于SOGI-FLL的陷波器傳遞函數的零點,因此算法對同步電流仍有抑制作用。

基于以上的轉子系統穩定性分析,本文提出變增益系數的方法來實現全轉速范圍下的轉子系統自動平衡控制,即分別在轉子亞臨界轉速以下和超臨界轉速以上取ε0=1和ε0=-1,利用變增益系數方法后,閉環系統的根軌跡如圖9所示。由圖可知,系統的所有閉環極點都位于虛軸的左半平面,從而能夠在全頻范圍內實現穩定運行。

3 仿真結果與分析

為了驗證該方法的可行性和有效性,在MATLAB/Simulink中搭建了主動磁軸承轉子系統,并進行了仿真驗證。AMB轉子系統的各項物理參數見表1。

3.1 恒定轉速仿真

基于上述的穩定性分析,分別在轉子的亞臨界轉速以下和超臨界轉速以上進行仿真。在0.3 s時加入本文提出的算法,轉子A端的估計頻率、位移和同步振動力的仿真結果如圖10所示。

結果表明,圖10(a)中,在0.3 s啟動算法后,估計頻率在0.31 s后收斂到給定的頻率值,且在給定頻率處上下震蕩,誤差在0.21 Hz以內,轉子的位移也能快速被抑制,轉子的同步振動力幾乎收斂到0;圖10(b)中,頻率估計的時間為0.228 s,且誤差在0.12 Hz以內,轉子的位移和同步振動力均能被快速抑制。因此,本文算法在頻率的估計、轉子位移和同步振動力的抑制都有較好的效果。

在實際的磁懸浮轉子系統工況下,自身設備噪聲會導致轉子的位移信號中含有一定的噪聲,噪聲通常會影響系統的運行。為了研究噪聲對算法補償效果和頻率估計的影響,在轉子旋轉頻率150 Hz的條件下,加入信噪比SNR為20、10的高斯白噪聲。啟動自動平衡控制前后,不同噪聲下轉子A端的仿真結果如圖11所示。

圖11 不同噪聲下轉子A端的仿真結果Fig.11 Simulation results at A side with different SNRs

仿真結果表明,加入一定的噪聲干擾后,算法的補償效果受到了較大的影響。由于同頻振動力抑制算法只對同頻的振動信號起作用,噪聲信號并沒有受到影響,因此信噪比越低補償效果也變得越差。但是,噪聲干擾并沒有對系統的收斂性能產生影響,轉子的同步振動力和同步位移依然能夠快速被抑制。頻率的估計軌跡隨信噪比的降低而變得曲折波動,但在信噪比10 dB下,頻率估計誤差也在0.79 Hz以內,并且能逐漸收斂至目標值,這也證明了該算法具有一定的自適應能力和抗干擾能力。

3.2 變轉速仿真

前述已經驗證了本文算法在恒定轉速下的頻率估計特性和不平衡補償效果,為了研究該算法在轉子變轉速下的補償效果和頻率跟蹤的有效性,在轉子加速度α=30π rad/s2的條件下進行了仿真。圖12表示在變轉速條件下算法的頻率跟蹤曲線,其中虛線和實線分別表示算法的估計頻率值和實際的參考頻率值。

圖12 變轉速條件下算法的頻率跟蹤曲線Fig.12 Frequency tracking curve of the algorithm under variable speed conditions

由圖12可知,估計頻率在大約0.9 s時收斂到參考頻率,且誤差在0.3 Hz內。因此,本文算法在變轉速條件下仍然具有良好的頻率估計性能。

圖13分別給出了算法前后轉子A端同步振動力和同步位移的響應結果。仿真結果表明,相比于沒有加入振動抑制算法的轉子同步振動力和同步位移,施加振動控制后,轉子的振動力和位移的幅值都大幅減小。在加入振動控制前,轉子的振動位移和振動力都很大,其峰值分別達到了0.185 mm和147 N,而在加入算法后,轉子位移峰值和振動力峰值降低至0.002 56 mm和2.3 N,不平衡響應的抑制效果明顯。

4 結 論

本文提出了一種改進的帶增益系數自適應頻率估計濾波算法來抑制不平衡同步振動力,解決了加入SOGI-FLL后導致磁軸承轉子系統低速段失穩的問題。該方法僅通過一路轉子徑向位移信號實現了轉子旋轉頻率的估計,在線跟蹤同頻率信號,自適應補償不平衡,最后引入增益系數實現了全頻域范圍內轉子系統的穩定運行。該方法可以同時估計轉子的旋轉頻率和抑制同步振動力,且結構簡單易于實現。最后,仿真結果驗證了所提出算法在全頻域范圍內同步振動力抑制的有效性和自適應特性。