結構化教學“通元”可“識微”*
——以初中數學“一元一次不等式”教學為例

何君青 高 健

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“新課標”）指出要探索大單元教學，積極開展主題化、項目式學習等綜合性教學活動，促進學生舉一反三、融會貫通，加強知識間的內在關聯，促進知識結構化。這里的結構化指的不僅是內容、形式上的變化，更多的是從學科本質和學生學習視角對相關內容的統整，此舉能更好地體現學科內容的本質特征和學生學習的需要。下面，筆者結合蘇科版數學七年級下冊第十一章“一元一次不等式”教學的設計，闡述結構化教學的一些做法和思考。

一、教學分析

（一）教學理念

方程和不等式均是刻畫數量關系的重要模型，方程用以表示數量間的相等關系，是含有未知數的等式；不等式用以表示數量間的不等關系，是含有未知數的不等關系式。兩者相互聯系、相互滲透、相互作用、相輔相成。因此，類比方程開展不等式的研究，無論是從實際問題抽象出不等關系、建立不等式（組）的概念，還是列不等式（組）、求解不等式（組），都合情合理。這樣的學習方式既可以將方程學習的經驗引入到不等式的學習中，又可以揭示兩者知識與方法之間的內在聯系，有助于學生構建知識框架、把握不等式（組）的本質特征。

類比是一種由特殊到特殊的推理方法，是由一種對象的研究遷移到另一對象的研究的有效策略。它是數學教學中重要的思想方法，是結構化教學的一種有效實施途徑，能使研究的內容更具遷移性、深刻性，研究的策略更具一致性、整體性，已越來越受到教師的關注。

故而，本章以“結構化”的理念作為教學依據，充分利用方程的相關知識、研究方法和經驗開展類比教學，在同中辨異的過程中尋找不等式的特殊之處，在異中求同的過程中凸顯兩者之間的關聯，讓學生形成清晰、有序的結構圖譜。具體教學框架如圖1所示。

（圖1）

（二）具體設想

明確了本章的教學理念后，為了更好地開展“結構化”教學，將“類比”做得更充分，筆者將每一節內容中“類比”之處作了細致分析。具體說明如下表所示。（見表1）

表1 “一元一次不等式”教學內容分析

二、教學設計

有了每課時的具體設想，筆者設計了課堂上的主要環節。集中體現在概念生成、解法探索、應用操作三部分。在概念生成部分，主要類比方程相關的概念，建構不等式相關的概念，實現內容的統整；在解法探索部分，主要辨析解不等式與解方程的異同，從而獲得解不等式的一般步驟，實現方法的一致；在應用操作部分，主要辨析用不等式解決問題與用方程解決問題時每步的聯系與區別，從而提取用不等式解決問題的一般思路，實現應用的推廣。

（一）概念生成：內容的統整

【設計1】在“生活中的不等式”一課中，筆者設計了如下一組問題。

問題1：像a≤100，x＞5.7，y＋2＜11.5，m2≥16 這樣的式子，它們有什么共同的特征？說說看。

問題2：請再寫出幾個類似的式子。

問題3：上述式子和以前學習的等式有什么區別和聯系？

問題4：如果給上述這類式子起個名字，可能會是什么？

【設計2】在“不等式的解集”一課中，筆者設計了如下一組問題。

問題1：還記得“方程的解”的定義是什么嗎？

問題2：類比“方程的解”的定義，你能對“不等式的解”下個定義嗎？

問題3：“方程的解”與“不等式的解”之間有什么區別和聯系？說說看。

問題4：數學上，我們將“一個含有未知數的不等式的所有的解”合在一起，稱為這個不等式的解集。那么，你覺得不等式的解與解集之間有什么關系呢？說說看。

【設計3】在“不等式的基本性質”一課中，筆者設計了如下一組問題。

問題1：還記得等式的基本性質嗎？是什么？

問題2：類似的，猜一猜，不等式會有什么基本性質？

問題3：“等式的基本性質”與“不等式的基本性質”有什么區別和聯系？說說看。

設計1 以生活的例子引入，讓學生體會到生活中不等關系的大量存在，并利用數學表達式描繪不等關系。在與等式進行比較的過程中，歸納異同，學生能清晰地認識到兩者的區別在于用了不同類型的關系符號（等號與不等號）連接兩個代數式。

設計2 中，學生在辨析的過程中，可以感悟到一元一次方程解的確定性和一元一次不等式解的不確定性，因此一元一次不等式解集的概念自然引出。在辨析、比較方程解和不等式解、解集的過程中，學生能夠充分體會到“方程可以看作是不等式的極端情況，不等式是方程范圍的擴張”，更好地理解不等式解與方程解的關系，并體會到“不等式的解是其解集中的一個數值，而解集是所有解的統稱”。

設計3 中，學生通過類比嘗試歸納不等式的基本性質，發現“不等式左右兩邊同時乘或除以一個負數，不等式的符號要改變”等性質，為后續解不等式提供了計算基礎。上述三個設計牢牢緊扣概念產生背后的知識內容之間的密切關聯，讓學生加深理解的同時，更好地掌握了相應內涵。

（二）解法探索：方法的一致

【設計1】在“解一元一次不等式”第1 課時中，筆者設計了如下一組問題。

問題1：還記得解一元一次方程的步驟是什么嗎？每一步的依據又是什么？

問題2：類似的，解一元一次不等式會經歷哪些步驟？每一步的依據又是什么？

問題3：在解一元一次不等式時，每一步有什么要注意的呢？這與解一元一次方程的每一步相類似嗎？

【設計2】在“一元一次不等式組”第1 課時中，筆者設計了如下一組問題。

問題1：明確了不等式組的解集的定義，想一想，解不等式組的步驟會是什么呢？

問題2：都是“組”，那么解一元一次不等式組的理念和解二元一次方程組的理念一致嗎？

問題3：解一元一次不等式組的方法和解二元一次方程組的方法一致嗎？有何區別？

既然方程和不等式有著密切的聯系，那么解方程和解不等式應該也具備特殊的關系。設計1 借助解一元一次方程獲得的經驗，開展一元一次不等式解法的研究，幫助學生打通知識聯系的壁壘，加深對一元一次不等式解法的理解，深刻體會到式子兩邊同時“變形”時不同的原因。

“二元一次方程組”“一元一次不等式組”的解，在本質上都有“公共”的含義，即要找到符合每一個方程或不等式的解。在解法的操作上，兩者有著明顯的區別，二元一次方程組需要方程“合作”求解，而一元一次不等式組則需各不等式先“單獨”求解，后取公共部分得到解集。設計2 將兩者對比研究，讓學生更深刻地理解“組”的含義，也明確了雖然都是“組”，但解法不同，從而發展推理能力、應用意識。

（三）應用操作：應用的推廣

在“用一元一次不等式解決問題”第1 課時中，筆者設計了如下一組問題。

問題1：用一元一次方程解決問題的步驟是什么？

問題2：類比一元一次方程，想一想用一元一次不等式解決問題會經歷哪些步驟？

問題3：用一元一次不等式解決問題和用一元一次方程解決問題時，每一步有區別嗎？有特別需要注意的地方嗎？

上述設計從用一元一次方程解決問題的步驟入手，提煉出“設—列—解—答”四步驟。學生通過類比，歸納出用一元一次不等式解決問題的相同四步。上述過程中，教師要提醒學生注意的是：在用一元一次不等式解決問題設未知數時，“設”要呈現出一個范圍，這與不等式的含義匹配；還要分清最后的結果是求具體的數值，如最大、最小值，還是求一個范圍。

三、教學思考

從根本上說，很多數學內容具備統一性、整體性。因此在教學中，教師應當使學生真正感受到數學內容本身所具有的“結構性”——既有內涵的一致性，也有方法的一致性。這樣的“結構化”學習有助于學生構建體系，正確認識數學的價值，深入理解數學的內容，形成應用數學解決問題的能力，從而更好地發展自身的認知能力。

本章教學的設計，充分揭示了方程與不等式，尤其是一元一次方程與一元一次不等式的知識內容和研究方法上的橫縱聯系。一方面，在生活中數量關系的統攝下，教師帶領學生首先剖析方程與不等式的定義及相關概念、基本性質的共同之處，繼而辨析兩者在解法、應用等方面的不同之處。在異中求同、同中辨異中，學生感悟到知識學習的整體性和研究方法的一致性，形成了相對完整的知識結構和認知結構。另一方面，設計緊緊抓住“類比”這一方法，使得學生不同階段的經驗相互融合，思維不斷擴展。學生在學習過程中透過現象看到本質，思考新問題與已學知識之間的聯系，從而不斷地去發現、去獲得新知。

初中數學結構化教學核心的要義就是整體把握，由此及彼，以宏觀的視角解決細微處的問題，即“通元”而“識微”，其中類比是一種重要的手段。通過類比，學生可以實現對知識內容的整體把握，貫通前后知識間的研究方法、研究策略，從而建立起對所學知識的本質理解，提煉出能夠遷移的經驗，最終實現核心素養的提升。