促進數學新授課新知生成的課例研究

盧 勇

中學教學應進一步強化基礎概念的教學，強調對于知識、概念的本質的深入理解，夯實學生的知識地基，使學生能夠做到真懂會用，掌握進一步學習的工具。［1］中學教學要在培養學生的知識見識上下功夫，在數學知識方法應用的靈活性和創造性上下功夫，在培養關鍵能力上下功夫。［2］因此，在高中數學新授課教學中，教師要讓學生明晰新知的來龍去脈，讓新知的生成有理有據，在知識生成過程中，培養學生的理性思維。

學習即研究，數學學習應按研究的思維過程與思維方式展開，通過創設符合數學知識發生發展規律（數學的邏輯）和學生思維規律及認知特點（心理的邏輯）的系列化情境與問題，引導學生開展高質量的數學研究活動。這種以培養學生理性思維為目標的數學研究活動，要努力做到情境適切、方案科學、細節嚴謹、學以致用。

一、情境適切彰顯研究的必要性

在教學活動中，教師應結合教學任務及其蘊含的數學學科核心素養設計合適的情境和問題，引導學生用數學的眼光觀察現象、發現問題，使用恰當的數學語言描述問題，用數學的思想、方法解決問題。設計合適的教學情境，提出合適的數學問題是有挑戰性的，但也為教師的實踐創新提供了平臺。

教師依托具體的情境，提出學生力所能及又富于挑戰性的問題，有助于學生理性思維的提升。教師提出的問題要具有以下特征：（1）目的明確，即所提出的問題要緊緊圍繞當前的教學任務，使學生的注意力集中在教學任務上；（2）反映本質，即問題要直接反映所學新知識的本質特征，要能引導學生的思維指向教學任務；（3）簡明易懂，即學生不會因為問題的字面意思難懂而發生理解困難；（4）系統連貫，問題應按數學知識的發生發展過程，以相應的數學思想方法為主線，組成一個循序漸進的、具有內在聯系的問題體系。

案例1：“有限樣本空間與隨機事件”（情境創設部分）

師：如果拋一次硬幣，觀察正面向上的結果有幾種可能？結果確定嗎？如果重復拋100次，并統計它們的結果，又會出現什么現象？

教師播放一段由GeoGebra 制作的拋硬幣100 次模擬試驗動畫，學生從中體會一次試驗結果的偶然性和多次重復試驗結果的規律性。

師：我們再來看一個更為有趣的情境。教師先介紹隨機數與隨機點構建的規則，有一個正三角形，三個頂點分別標作A1，A2，A3，準備一個骰子，只有1、2、3 三種點數，在正三角形內部任取一點，記作P0。第一步，拋擲骰子一次，1、2、3 中產生一個隨機數i（i=1，2，3），連接P0Ai，取P0Ai的中點記作P1。第二步，再次拋擲骰子一次，1、2、3 中產生一個隨機數i（i=1，2，3），連接P1Ai，取P1Ai的中點記作P2，以此類推，得到點P3，P4，…，Pn。這些點的產生具有隨機性嗎？你看出這些點的分布有什么規律性嗎？

教師播放一段由Matlab編程制作的三千余個隨機點分布規律的視頻，學生驚奇地發現隨機點的分布具有明顯的規律性，呈著名的謝爾賓斯基三角形的形狀。（如圖1）

教師引導學生歸納總結以上現象的共同特征：就一次觀測而言，出現哪種結果具有偶然性；但在大量重復觀測下，結果又具有一定規律性的現象，我們稱之為隨機現象。

師：初中時，你們對隨機事件的認識更多是一些感性的認識。高中階段，我們將結合實例，從理性的角度刻畫和研究隨機現象。（引出本節課的課題“有限樣本空間與隨機事件”）

【設計意圖】概率論是研究隨機現象規律的數學分支，為人們提供了從不確定角度認識客觀世界的思維模式和解決問題的方法。概率課程承擔的主要育人任務是培養學生分析隨機現象的能力。基于整體單元化教學的需要，本節課作為高中概率單元的起始課，兼具知識預備和單元導引的雙重價值。上述教學片段教師分別選擇熟悉和有趣的兩個情境，引導學生歸納獲得隨機現象的共同特征，有利于提升學生進一步研究隨機現象的好奇心，體會隨機思想，明確研究對象。

二、方案科學彰顯研究的合理性

數學學習的核心是思維方法的學習。但在教學實踐中，不少課堂教學過程雜亂無序，沒有貫穿課堂始終的教學主線，缺乏有結構的、邏輯關聯、層層遞進且能啟迪學生思維的問題引領，教學隨意性很大，“思維的教學”更是奢談。教師應對數學知識的背景、抽象、推理過程進行“本源性”思考，設計科學的研究方案，用高觀點、思想性去引領學生的學習，并在此基礎上構建課堂教學主線，讓學生在掌握數學知識的過程中，領悟思考方法進而學會學習。案例2：“斐波那契數列”（性質探究部分）

問題1：等差、等比數列的研究路徑是什么？

問題2：你認為應該怎樣研究斐波那契數列的項與和的性質？

【設計意圖】從數列大單元的角度，讓學生回顧等差數列、等比數列的研究過程，探尋數列研究的一般路徑，為接下來研究斐波那契數列找準方向。

學生活動：自主探究斐波那契數列中的項的特征、項的性質、和的性質。

活動方式：小組討論，合作探究，自主展示，小組糾錯，自我完善。

【設計意圖】一是讓學生掌握研究的方法：特殊到一般，歸納證明猜想；二是從數列大單元的角度，熟練運用研究數列的一般方法：迭代法、定義法、累加法、錯位相減法等探究斐波那契數列的性質；三是讓學生感受相比等差、等比數列，斐波那契數列所具有的性質更加豐富，其推導和研究的路徑也更為多樣。

三、細節嚴謹彰顯研究的完備性

細節決定成敗。數學概念教學中應當安排概念的“精致過程”，對概念內涵進行“深加工”，對概念要素作具體界定，讓學生在對概念的正例、反例作判斷的過程中，更準確地把握概念的細節。［3］這樣不僅能讓學生深入理解當前知識，還能為學生以后的學習打下堅實的基礎，更能培養學生思維縝密、嚴謹細致的理性精神。

案例3：“數列的概念及表示”（數列概念理解部分）

師：我們以數列1，2，4，8，16，…為例，來檢驗下同學們是否掌握了數列的有關概念。

問題1：該數列的首項是什么？對應的序號呢？2，4，8，16 對應的序號呢？序號n對應的就是第n項an，具體an是什么呢？

師：顯然an=2n-1反映了這個數列的第n項與序號n之間的關系。一般地，如果數列{an}的第n項與序號n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫作這個數列的通項公式。

追問：如何求a101呢？你是如何認識符號“an”的？

【設計意圖】在師生交流的基礎上，學生認識到符號“an”既是“確定的”又是“任意的”，即an表示的是數列的第n項，同時作為通項公式an意味著對數列中的每一項都是適用的。

師：通過前面的分析，序號1 與數列中的項“1”對應，序號2 與數列中的項“2”對應，序號3與數列中的項“4”對應……這種對應關系同學們熟悉嗎？之前的學習中同學們接觸過嗎？

為了分析IGBT的開路對電路造成的影響我們假設圖2中的In方向為電流的正向,首先分析T1的開路故障(如圖2所示)。當電流In為正方向時,T1發生了斷路故障,為了保證Ln的電流連續性,電流In只能通過D1流向直流側。那么由以上的分析可知在電流In為正向極性時,如果T1發生了斷路故障并不會影響In。然而,當電流In的極性變成負極性時,電流In不再能夠通過D1進行續流,那么必然會對In產生影響。綜合單相PWM的開關指令,判斷如下3種開關指令:(1010),(1001),(1000)符合上面的分析。

生：這種對應關系應該是函數。

問題2：數列是函數嗎？（小組討論）

學生交流發現：數列中，每一個序號n都有唯一的項an與之對應，滿足函數的定義，所以數列是函數。

問題3：通項 公式為an=2n-1的數列{an}與f（x）=2x-1是否為同一個函數？

生：兩者的對應關系是一致的，但定義域不同，an=2n-1中的n只能取正整數，而f（x）=2x-1的定義域為R，所以它們不是同一個函數。

問題4：那數列是一個什么樣的函數呢？從函數的觀點，談談你的認識。

教師在學生交流的基礎上總結完善，得到數列與函數的關系：數列是一類特殊的函數。從定義域上看，數列的定義域是正整數集或其有限子集{1，2，…，k}；就對應關系而言，數列的通項公式就是數列（函數）的解析式，即an=f（n）；函數值相應的是數列中的項f（1），f（2），…，f（n），…。

【設計意圖】辨析數列的本質，厘清數列與函數的關系是本課的難點，也是后續學習中運用函數觀點解決數列問題的基礎。在處理方式上，由特殊到一般、由具體到抽象的方法貫穿始終。教師首先以具體數列為研究抓手，引導學生聯想到所學函數知識，感悟數列的函數特征，進而開展一般性探究，根據函數概念，明晰數列的本質就是函數。

四、學以致用彰顯研究的有效性

數學學習強調學以致用，數學應用既包含數學學科內部知識之間的關聯與交互，也包含以數學作為工具，在自然科學乃至人文社會科學中的交叉應用。通過數學應用可以鞏固新知識的學習，檢查新概念的掌握程度，培養學生分析問題、解決問題的能力，促進真懂真會。例如，天文觀測、歷法推算和航海的發展推動人們對球面進行研究，從而產生了球面三角學，出于間接測量、測繪工作的需要又出現了平面三角學。正余弦定理的出現更是人類文明發展數學文化中的一顆耀眼的寶石，既解決了很多實際問題，又在數學文化中展現了迷人的魅力。

案例4：“正余弦定理的應用——測量距離問題”（主問題設計）

問題：解三角形在測量上有著廣泛的應用。你能設計出圖2 中三種實際情況下測量A、B 兩點間距離的方案嗎？

解決方案圖示：

（圖3）

【設計意圖】前兩種情況相對比較基礎，學生直接構造三角形，運用正弦定理和余弦定理可以直接解決。對于第三種情況A，B兩地均不可到達，借助前兩個問題的求解經驗、建立的基本模型，我們需要學生明白這種情況求解的過程，讓學生感悟內蘊于其中的化歸數學思想方法。

章建躍先生指出，要努力提高數學教學的品位。這就要求教師在日常教學中，要以數學新知為載體，讓學生經歷明確研究的問題、獲得研究的對象、確定研究的內容、選取研究的方法、建構研究的過程、獲得研究的結論等完整的數學思考過程，讓新知生成有理有據，提高學生的數學素養，發展理性思維。