創設真實情境 浸潤數學文化

吳俊英

摘 要： 在分析2023年高考數學全國卷中的數學文化試題后發現：數學文化類試題數量較少，數學文化類型分布集中在數學與生活、數學與科技兩個類型；主題領域分布不均衡，“概率與統計”最多；試題通過創設自然真實情境，合理控制閱讀難度、知識點個數、運算量等來契合試題要求層次和考生認知水平.高三試題命制應創造性使用教材，注意均衡各數學文化類型；課堂教學應依托情境化設計，關注閱讀、思考、表達閉環訓練，培養學生應用能力，浸潤數學文化.

關鍵詞： 數學文化；真實情境；高考

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出“數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點以及它們的形成和發展；還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動” ［1］.2023年高考對數學文化的考查主要體現在創設自然真實情境，從現實生活情境、科學研究情境及勞動生產情境出發，合理控制閱讀難度、抽象程度、運算量，使情境化試題契合試題要求層次和考生認知水平［2］.為明晰當前高考試題中滲透了哪些數學文化，以2023年高考數學全國卷試題為文本對象進行統計分析與討論，以期為高三復習提供啟示與建議.

1 數學文化試題特征分析

整理、分析2023年高考數學試題，從試卷、題型與題號、試題背景、考查內容知識點、考查內容主題及文化類型六個方面對全國甲卷（文科、理科）、全國乙卷 （文科、理科）、新課標Ⅰ卷、新課標Ⅱ卷六套試卷中的數學文化類考題進行統計、歸納，如下表1. 基于已有研究，依據張維忠等人關于高考數學試題中數學文化的分類標準，將數學文化內容類型分為數學史、數學與人文藝術、數學與科技、數學與生活四類［3］.

1.1 試題文化類型分析

2023年全國高考統一命題數學試題中的數學文化題總數較少，僅有15道題，數學文化試題類型分布不均衡但貼近生活，便于學生學習興趣的培養.試題以數學與生活、數學與科技為主陣地，從現實生活情境（如新課標Ⅱ卷第3題，全國甲卷理科第9題，新課標Ⅰ卷第21題）、科學研究情境（如新課標Ⅰ卷第10題，新課標Ⅱ卷第19題，全國甲卷理科文科數學第19題）及勞動生產情境（如全國乙卷理科文科第17題）出發，充分體現了數學與實際生活息息相關，增加高考數學試題和社會生活、科技生產等的聯系，可以使數學更加貼近現實生活，拉近學生和數學之間的距離，提高學生學以致用的能力，培養學生應用數學的意識，更多關注學生綜合解決問題的能力.試題的突出特點有以下兩點：一是以人員安排、體育比賽等為背景的試題較多，以科技創新為背景的試題偏少；二是對數學史給予的關注度不夠，數學史、數學與人文藝術今年沒有直接考查.

1.2 試題知識主題分析

從知識主題的統計分析發現，數量分布最多的是“概率與統計”主題，試題總數為14道;其次是“函數”主題，試題總數為1道；“幾何與代數”主題和“數學建模活動與數學探究活動”沒有考查.總體來說，除了新課標Ⅰ卷第21題，其他試題綜合難度不高.每個試題知識點含量有所提升，從知識點個數來看，結合的知識點數量以2個或3個為主，主要考查學生對基礎知識的理解和基本技能的應用，解答題中3個及以上知識點的考查占比在逐年增高.

1.3 試題題型及閱讀量分析

從試題題型的統計分析發現，選擇題有8道，填空題1道，解答題6道.在數學文化考查方式上，更多地發揮了選擇、填空題行文簡潔凝練，答案簡短、明確、具體，評分客觀、公正、準確等特點.同時都有一道題以解答題形式考查數學文化.按照閱讀量分類標準：試題字符數在100以內為少量，試題字符數在100—200之間為中等，試題字符數在200以上為大量.今年試題閱讀量控制題干字數，表達嚴謹精簡，情境化設計簡潔貼近現實社會.統計得閱讀量少量為7道，中等為2道，大量為6道.在閱讀量上，選填題多以中等為主，需要學生擁有快速閱讀提取信息整合信息的能力.解答題的閱讀量字符數一般較多，需要學生進行文字語言與數學語言的相互轉化，試題既提高了數學知識的關聯程度，也提升了試題本身的閱讀難度.

2 典型試題欣賞與評析

2023年高考數學文化的滲透聚焦在數學與科技、數學與生活兩個內容上.在數學與生活試題中背景涉及到體育、選課、社區服務、文藝匯演、作文比賽等等，能讓學生深切體會到數學無處不在.既體現了數學的應用價值，也具有育人價值，能夠提高學生的社會意識與社會責任感.

例 ??（新課標Ⅰ卷第21題） ：甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1） 求第2次投籃的人是乙的概率；

（2） 求第ⅰ次投籃的人是甲的概率；

（3） 已知：若隨機變量X i服從兩點分布，且P（X i=1）=1-P（X i=0）=q i，i=1，2，…，n，則 E（∑ n i=1 X i）=∑ n i=1 q i. 記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數為Y，求E（Y）.

點評： ?本題以考生熟悉的籃球投籃作為情境，設計新穎，將概率問題融入兩人的連續投籃練習中.前兩個設問考查事件的關系，根據全概率公式與條件概率，從隨機過程分支中找數列的遞推關系進而解決問題.考查考生的邏輯思維能力，考查考生對復雜事件的分解和轉化的能力.求解的關鍵是問題背景中前后試驗具有密切的關聯性，其概率的內在聯系決定了數列的遞推關系，而遞推關系的數學本質是全概率公式［4］. 第3問考查離散型隨機變量的期望，需要在較為復雜的情境中明晰各信息之間的聯系，用數學符號、文字語言表達問題，對隨機變量進行分析和轉化，逐步將問題解決.求解關鍵是用數學的眼光發現此題的研究對象，將題目轉化為數學問題，并借助數學語言和思維對題目進行表達進而解決問題.

本題是一個“馬爾可夫鏈”問題.馬爾可夫鏈是一個著名的概率模型，它描述隨著時間的推移，各個不同狀態間的相互轉化，在自然科學和社會科學中有著廣泛的應用.馬爾可夫性可以解釋為：在已知現在的情況下，將來的隨機變化規律與過去發生的事件無關，即未來狀態n只受當前狀態n的影響，與之前的n無關.在現實生活中，很多隨著時間變化的隨機變量序列都具有馬爾可夫性.一般地，我們稱具有馬爾可夫性的隨機變量序列{X i}為馬爾可夫鏈.在實際應用中，可以通過問題的背景直接判斷隨機變量序列是否具有馬爾可夫性.教材和各地模擬題中也有相關的習題可以供拓展練習使用.

拓展練習1 ??（人教 A 版數學選擇性必修第三冊第81頁第10題） ：如圖，一個質點在隨機外力的作用下，從原點0出發，每隔1s等可能地向左或向右移動一個單位，共移動6次.求下列事件的概率.

（1） 質點回到原點；

（2） 質點位于4的位置.

拓展練習2 ??（人教 A 版數學選擇性必修第三冊第91頁第10題） ：甲、乙、丙三人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，求n次傳球后球在甲手中的概率.

3 啟示與建議

結合楊正朝、曹文杏等人對近些年數學文化試題的研究［5］ ［6］，聯系前文對2023年試題總體特征的分析及個別試題的賞析，發現了一些命題特征，由此為試題的編制和教師課堂教學提出以下幾點建議.

3.1 基于教材進行試題編制，二次加工教材創設情境

高考評價體系強調“無情境，不成題”，強調試題的情境設計和創造.各版數學教材中提供了很多的情境，不僅在新授課時應重視，在高三復習時也應回歸教材，尤其重視引言、旁白、探究、閱讀與思考等內容，梳理可滲透數學文化的材料，根據教學內容，改編教材情境試題.2019年高考理科數學全國Ⅰ卷第21題，2020年高考理科數學Ⅰ卷第21題也都是基于馬爾可夫鏈的概率問題.實際上，普通高中課程標準實驗教科書數學選修4 9（ A 版）《風險與決策》中第四講馬爾可夫型決策簡介詳細介紹了馬爾可夫鏈問題，但顯然部分教師對這部分內容缺乏足夠的重視.高考數學試題的命制來源于教材又高于教材，教師可以多閱讀各個版本的教材并從中積累素材，試題編制時關注文字的精煉，合適控制文字數量和閱讀理解對問題難度的影響，適當均衡各部分內容，讓學生充分體會到數學的重要性.在數學與生活的選材上，除了關注個人生活背景，可以關注結合社會熱點、社會公共生活；在數學與科技的選材上，注意材料要與時俱進，契合時代背景，關注最新科技研究成果與數學的聯系，在數學史的選材上，除了數學名家、數學名題、數學名著，還可以用我國古代數學優秀成果和中華優秀傳統文化來凸顯文化自信.此外需要關注數學文化在人文藝術方面的應用，以更為豐富的數學文化內容和更多元的數學文化類型彰顯數學文化的價值意義.

3.2 課堂教學關注閱讀、思考、表達閉環訓練，培養學生應用能力

通過對數學文化類試題的分析發現，近些年高考試題的情境越來越真實復雜，且解答題字符數目較多，更加注重考查學生閱讀理解和信息整合能力.教師應該重視高考命題趨勢，調整教學.課堂上要給 學生完整的閱讀、思考、表達等基本活動的體驗，經歷從閱讀到理解再到應用的過程，形成課堂教學閉環.教師應重視與現實生活的聯系，設置或選擇真實復雜的問題情境，鍛煉學生從情景中抽象出數學問題、進行數學閱讀的能力，培養學生用數學的眼光觀察世界的習慣.接下來圍繞問題的解決，教師引導學生開展學習，教師在教學設計中應注重基本概念的理解與應用，在教學活動中充分展示數學本質，重視具體知識與技能的生成過程，用數學的思維思考世界.最后用數學的語言表達世界，鼓勵學生探索創新，自主創設符合問題的試題情境.

總之，以情境為載體的高考命題，秉承立德樹人的教育理念，滲透數學文化，堅持以文化人，以文育人.高三試題命制應創造性使用教材，注意均衡各數學文化類型；課堂教學應依托情境化設計，關注閱讀、思考、表達閉環訓練，培養學生的應用能力，浸潤數學文化.

參考文獻：

［1］ 中 華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 教育部教育考試院.深入考查基礎知識和能力，助力人才選拔和“雙減”落地——2023年高考數學全國卷試題評析［J］.中國考試，2023（7）：15 21.

［3］ 張維忠，金月丹.高考試題中的數學文化內容類型研究——基于近5年高考試卷的量化分析［J］.中學數學月刊，2020（6）：26 34.

［4］ 余建國.過程分支類概率問題的數學本質與求解方法［J］.中小學數學，2023（6）：11 13.

［5］ 楊正朝，吳京霖，王寬明.高考數學文化類試題評析——以2020—2022年高考數學全國卷為例［J］.遼寧師專學報（自然科學版），2022（12）：11 17.

［6］ 曹文杏，胡余旺.高考數學中數學文化類試題特征及其評析：以2016—2020年全國Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷為例［J］.教育測量與評價，2021（5）：49 57.