聚焦指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應用

陸玉婷

摘 要： 單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，而指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性更是尤為重要.對于指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1），當a＞1時，它在實數(shù)集 R 上單調(diào)遞增；當a∈（0，1）時，它在實數(shù)集 R 上單調(diào)遞減.由此可見，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性并不復雜，但它的應用卻不簡單，它可以用來比較大小、求函數(shù)的定義域、求函數(shù)的最值或值域、求參數(shù)的值或范圍、解方程或證明不等式，還可以解決綜合性問題.

關(guān)鍵詞： 指數(shù)函數(shù)；單調(diào)性；應用

學習函數(shù)的目的之一，就是利用函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題.在函數(shù)的眾多性質(zhì)中，單調(diào)性最引人注目.指數(shù)函數(shù)更是如此.我們知道，對于指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1），當a＞1時，它在 R 上是增函數(shù)；當0＜a＜1時，在 R 上是減函數(shù)，這就是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性看似簡單，它的應用卻不簡單，本文舉例說明.

1 由單調(diào)性比較大小

對于某些底數(shù)相同的指數(shù)式比大小問題，可以構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，從指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性入手.

例1 ????已知（x2+2x+3）a＞（x2+2x+3）b，試比較實數(shù)a與b的大小.

分析： ???不等式兩邊的底數(shù)相同，要比較指數(shù)的大小，關(guān)鍵考察底數(shù)與1的大小關(guān)系.

解： ???由于x2+2x+3=（x+1）2+2≥2＞1，所以函數(shù)f（t）=（x2+2x+3）t在 R 上是增函數(shù)，又因為（x2+2x+3）a＞（x2+2x+3）b， 所以a＞b.

點評： ???本例是指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的逆向應用.利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較兩數(shù)的大小，前提條件必須是底數(shù)相同，且能與1比出大小，否則需分類討論或引進第三個量進行比較.

2 由單調(diào)性求函數(shù)的定義域

對于某些與指數(shù)函數(shù)復合的函數(shù)，求它的定義域時，往往要轉(zhuǎn)化為不等式，這時需用到指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

例2 ????求函數(shù)y= 22x+2x-6 的定義域.

分析： ???由于函數(shù)解析式中含有二次根號，所以被開方的部分必須大于或等于零.

解： ???要使y= 22x+2x-6 有意義，只需22x+2x-6≥0，即（2x+3）（2x-2）≥0.

因為2x＞0，所以2x+3＞0，故只需2x-2≥0，即2x≥2.

由于函數(shù)y=2x在 R 上是增函數(shù)，故只需滿足x≥1即可，故原函數(shù)定義域是［1，+∞）.

點評： ???這種方法一般用于解決含有指數(shù)函數(shù)的式子定義域問題，體現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的逆向應用.

3 由單調(diào)性求函數(shù)的最值或值域

對于一類與指數(shù)函數(shù)復合的函數(shù)（或稱其為指數(shù)型函數(shù)）的值域或最值問題，往往可以將其分解成兩個函數(shù)，其中一個為指數(shù)函數(shù)，而另一個為其它的初等函數(shù).根據(jù)復合函數(shù)的性質(zhì)，可以把另一個初等函數(shù)的值域看成指數(shù)函數(shù)的定義域，這樣就很容易依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求出原函數(shù)的最值或值域.

例3 ????（1） 函數(shù)y= ?1 2 ?x2-6x+17的最大值是 ?????;

（2） 若函數(shù)f （x）＝ ?1 3 ?ax2-4x+3有最大值3，則a＝ ?????.

分析： ???（1） 這個函數(shù)由指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)復合而成，二次函數(shù)的值域就是指數(shù)函數(shù)的定義域；（2） 由復合函數(shù)的單調(diào)性得出h（x）＝ax2-4x+3應有最小值-1，再由二次函數(shù)的性質(zhì)得出a的值.

解： ???（1） 函數(shù)y= ?1 2 ?x2-6x+17定義域為（-∞，+∞），令u=x2-6x+17，因為y= ?1 2 ?u在 R 上單調(diào)遞減，故欲求函數(shù)y= ?1 2 ?x2-6x+17的最大值，只需求出u=x2-6x+17的最小值.又u=x2-6x+17=（x-2）2+8≥8，所以函數(shù)y= ?1 2 ?x2-6x+17的最大值為 ?1 2 ?8= 1 256 ，故填答案： 1 256 .

（2） 令h（x）=ax2-4x+3，則 f（x）= ?1 3 ?h（x）.因為f（x）有最大值3，所以h（x）應有最小值-1. 由此 ?a＞0，

12a-16 4a =-1， ?解得a=1，故填答案：1.

點評： ???這種方法主要用于處理含有指數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)的最值（值域）問題，求解的關(guān)鍵是將其分解成兩個函數(shù)：內(nèi)函數(shù)與外函數(shù).再考慮兩個函數(shù)的單調(diào)性和外函數(shù)的值域，這里都要用到指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

4 由單調(diào)性求參數(shù)的值或范圍

對于含參數(shù)的指數(shù)型不等式恒成立或能成立問題，一般采用參變量分離法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，這里往往要用到指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

例4 ????（1） 已知-2m+1≤ ?1 2 ?x+1在x∈（-∞，0］上恒成立，則實數(shù)m的最小值是 ?????.

（2） 已知函數(shù)f（x）=2|x|，g（x）=m ?1 4 ?x+2 ?1 2 ?x-1，若對于任意的x 1∈［-1，2］，總存在x 2∈［-1，2］，使得f（x 1）≥g（x 2）成立，則實數(shù)m的取值范圍為 ?????.

分析： ???（1） 將不等式等價轉(zhuǎn)化為-2m≤ ??1 2 ?x ??min ，求出右端函數(shù)在（-∞，0］上的最小值即可；（2） 若對任意x 1∈［-1，2］，存在x 2∈［0，1］，使得f（x 1）≥g（x 2）成立，只需f（x） ?min ≥g（x） ?min ，分別利用單調(diào)性求出兩個函數(shù)的最小值即得.

解： ???（1） 因為-2m+1≤ ?1 2 ?x+1在x∈（-∞，0］上恒成立，即-2m≤ ??1 2 ?x ??min ，

因為y= ?1 2 ?x在x∈（-∞，0］上單調(diào)遞減，所以y= ?1 2 ?x≥1，即 ??1 2 ?x ??min =1，

所以-2m≤1，即m≥- 1 2 ，所以實數(shù)m的最小值為- 1 2 ，故填答案：- 1 2 .

（2） 因為x∈［-1，2］，對于f（x）=2|x|，當x∈（-1，0）時，f（x）單調(diào)遞減，當x∈（0，2）時，f（x）單調(diào)遞增，故f（x） ?min =f（0）=1，所以存在x∈［-1，2］，使得1≥g（x）成立.

令t= ?1 2 ?x，∵x 2∈［-1，2］，∴t∈ ?1 4 ，2 ，則存在t∈ ?1 4 ，2 ，使得mt2+2t-1≤1成立，即m≤ 2-2t t2 成立，所以m≤ ?2-2t t2 ???max .又 2-2t t2 =2 ?1 t ?2-2 ?1 t ?， 1 t ∈ ?1 2 ，4 ，所以 ?2-2t t2 ???max =2×42-2×4=24，所以m≤24.故填答案：m≤24.

點評： ???由于這類問題歸根到底是轉(zhuǎn)化為與指數(shù)函數(shù)值域有關(guān)的問題，所以問題的解決通常離不開指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應用.如本例中用到了指數(shù)函數(shù)y= ?1 2 ?x的單調(diào)性.

5 由單調(diào)性解方程或證明不等式

函數(shù)的單調(diào)性既體現(xiàn)了函數(shù)值的大小關(guān)系，同時又體現(xiàn)了自變量與函數(shù)值之間的一一對應關(guān)系，因此它可以用來求解與指數(shù)式有關(guān)的方程和不等式.

例5 ????（1） 解方程：3x+4x=25；（2） 證明不等式： 32 023+42 023＜52 023.

分析： ???（1） 考慮到函數(shù)f（x）=3x+4x的單調(diào)性，進而利用函數(shù)零點存在性定理；（2） 待證不等式中的三個冪的指數(shù)完全一致，可嘗試將不等式兩邊同時除以52 023，并構(gòu)造指數(shù)型函數(shù)，再利用該函數(shù)的單調(diào)性來證明.

解： ???（1） 考慮到函數(shù)f（x）=3x+4x的單調(diào)性.因為y 1=3x與y 2=4x在實數(shù)集 R 上都單調(diào)遞增，所以f（x）=3x+4x在實數(shù)集 R 上也單調(diào)遞增.又f（2）=25，所以根據(jù)函數(shù)零點存在性定理知，方程3x+4x=25的根唯一，為x=2；

（2） 證明：因為52 023＞0，故原不等式等價于 ?3 5 ?2 023+ ?4 5 ?2 023＜1.

于是構(gòu)造函數(shù)f（x）= ?3 5 ?x+ ?4 5 ?x，因為指數(shù)函數(shù)y= ?3 5 ?x和y= ?4 5 ?x都在實數(shù)集 R 上單調(diào)遞減，因此f（x）= ?3 5 ?x+ ?4 5 ?x也在實數(shù)集 R 上單調(diào)遞減.不難發(fā)現(xiàn) f（2）= ?3 5 ?2+ ?4 5 ?2=1，而2 023＞2，故f（2 023）＜f（2），即不等式 ?3 5 ?2 023+ ?4 5 ?2 023＜1成立.

點評： ???本例中的方程和不等式問題都是指數(shù)型的，都無法用普通的方法來解決，這時就要想到構(gòu)造相應的指數(shù)型函數(shù)，并利用它的單調(diào)性，這是解決這類“超越”方程或不等式的“突破口”.

6 由單調(diào)性求解其它綜合問題

對于有些抽象函數(shù)問題，可以根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造一個指數(shù)函數(shù)，然后借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來解決原問題，從而起到“圍魏救趙”的作用.

例6 ????已知函數(shù)f（x）定義域內(nèi)所有的x 1，x 2 （x 1≠x 2），都滿足下列三個結(jié)論：

（1） f（x 1+x 2）=f（x 1）f（x 2）;（2）f（x 1）＞0;（3）f ?x 1+x 2 2 ?＞ f（x 1）+f（x 2） 2 ;

則不等式f（a2）＞f（-a+6）的解集為 ?????.

分析： ???根據(jù)三個結(jié)論構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，然后利用該指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式.

解： ???因為函數(shù)f（x）=2x均滿足題中的三個結(jié)論，不妨令f（x）=2x，因為該函數(shù)為增函數(shù)，故由f（a2）＞f（-a-6）得a2＞-a+6，即a2+a-6＞0，解得a＞2或a＜-3，所以不等式f（a2）＞f（-a+6）的解集為（-∞，-3）∪（2，+∞），故填答案：（-∞，-3）∪（2，+∞）.

點評： ???對于與抽象函數(shù)問題有關(guān)的填空題，為了省去推理的麻煩，快速解決問題，往往可以根據(jù)題中提供的函數(shù)性質(zhì)，找到一個對應函數(shù)，再利用這個函數(shù)的性質(zhì)來解決相關(guān)問題.比如本例就是構(gòu)造了一個簡單的指數(shù)函數(shù).一般來說，構(gòu)造的函數(shù)越簡單越好.

從以上幾類問題的分析中不難發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學解題中，與指數(shù)形式有關(guān)的不等式問題，通常是考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，因此破解這類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造恰當?shù)闹笖?shù)函數(shù)，并利用它的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式求解.