搭起“問題框架”，完善“概念教學”， 拓寬“解題思路”

趙嫻靜

摘 要： 問題是數學的心臟，在數學概念教學課堂上，教師應搭起問題框架：在問題引領下運用問題串的方式、逐層遞進，引領學生進行更深入地思考，從而讓學生真正成為學習的主人.本文以教材新增內容“復數的三角表示”為例，通過設置問題串，讓學生的思維在問題串中淺入深出，完善概念教學、拓寬解題思路.

關鍵詞： ?問題框架；概念教學；復數的三角表示

蘇教版高中數學必修二中，復數的內容占比不多，難度不大，在高考中也屬于容易題，從而往往被一帶而過.而新教材添加了“復數的三角表示”這一知識點，雖然它是選學內容，但不少學校都將其作為必學課時，而且在不少大學自主招生考試中也會涉及到.那么新教材為何要添加這部分內容？對于多年沒有涉及這方面教學的老師，這個問題值得好好研究.本文從教學的必要性，課堂設計，綜合運用及教學心得四個方面進行初步探討.

1 ?教學的必要性

復數這一章的學習，是從解決“實系數一元二次方程，當 Δ <0時，在實數集范圍內沒有根”這一問題出發，進而提出數系需要擴充的問題.復數解決了數集運算的矛盾，其幾何意義——平面向量則是形的直觀反映.正是因為它和平面向量有著一一對應的關系，所以平面向量的模長等內容就可以類比復數的相關概念.

舊教材中，學生學習了復數的四則運算，了解了復數加減法的幾何意義后，這一章的教學就戛然而止了.但一些愛思考的學生會追問：“復數的乘除法有沒有幾何意義呢？”

數學教育學的主要任務是促進學生思維的發展，數學教學應當強調思維的合理性和全面性.所以加入“復數的三角表示”這一知識點顯得很有必要，它也為解決平面向量，三角函數和一些平面幾何問題提供了一種重要的方法.

2 ?課堂設計

本節課的教學目標是復數的三角形式.“問題是數學的心臟”，問題解決是國際數學教育界很早就提出的主要口號.要想解決問題，首先要能夠提出好問題，好問題源自學習者自身的內在需求，應該具有適度的思維挑戰性.所以筆者用問題串的方式，將概念引入的必要性，定義的合理性講清楚.

引言：前面學習了復數的四則運算，了解了復數加減法的幾何意義，接下來你們想研究什么？

學生很自然地會問：復數乘除法有幾何意義嗎？這就是本節課要解決的問題，在預設的情境中，如何盡可能地讓學生發現并提出問題，是需要教師研究的一個問題.因此，我們要設計好如何引導學生提出問題.一個有一定開放性和自由度的問題，能夠給學生獨立思考和主動探究留下足夠的空間.

問題1 ????復數 z＝a＋b i （a，b∈ R ）可以由向量 OZ ?的坐標（a，b）唯一確定.

我們回顧向量 OZ ?的定義：既有大小，又有方向的量.

那么，能否借助向量的大小和方向這兩個要素來表示復數呢？

設計意圖： 從復數的幾何表示出發，將復數與向量類比，讓學生嘗試用類比的思想，定量刻畫向量的大小和方向.

我們在教學中應該特別重視引導學生仔細辨識新的問題，了解新問題是如何由原來的基本問題通過一定變化生成的，從而就可通過相應思考方法或模式的適當變化順利地解決問題.

問題2 ????向量的大小可以用向量的模表示，即 | OZ ?|= a2+b2 ，那么向量的方向如何定義呢？

追問：同學們說了，向量的方向可以用角度來刻畫.那么，在平面直角坐標系里，如何定義角度比較合適呢？

設計意圖： 復數的輻角是本節的新知識，也是重點.當學生提出，方向可以用角度來刻畫后，引導學生在平面直角坐標系里，回顧角的定義，類比出復數輻角的定義.這也是類比思想的體現.

問題3 ????復數的模和輻角確定了，復數是否唯一確定？

反之，復數確定了，復數的模和輻角是否唯一確定？

設計意圖： 讓學生從正反兩方面分析，類比終邊相同的角的表示方法，進而意識到，要使兩者能夠一一對應，需要在輻角的基礎上，追加定義輻角主值，讓學生感受數學概念產生的必要性，同時感受數學的嚴謹性.

問題4 ????學習了復數的三角形式后，請通過幾個例子，來研究復數乘法的幾何意義.

可以一般化嗎？

追問： 復數乘法的幾何意義.

設計意圖： 這屬于開放的“大問題”，在復數三角形式的基礎上，留給學生足夠的空間，讓他們解決本節課開始時提出的問題.而在整個探究的過程中，教師預設讓學生從具體復數出發，這也是一般學生能夠達到的目標.后面的追問，則是為了讓學生體會數學中十分重要的由具體到抽象的思維過程.

以上是本節課的問題鏈，在問題引領下，通過恰當的引導，追問，讓學生的思維不斷深入.

3 ?綜合應用

在高考中，復數題的難度不大，一般不需要用三角形式來解決.但在大學自主招生和涉及旋轉的綜合題中，嘗試用復數的三角形式來解決，可能更為簡便，以下舉兩個例子.

例1 ???（2016中國科學技術大學自主招生題） 設復數 z 1，z 2滿足|z 1|=2，|z 2|=3，|z 1+z 2|=4， ?z 1 z 2 = ?????.

思路分析：因為條件涉及兩個復數的模，所以可以考慮從三角形式入手，利用數形結合的思想來解決問題.

解： 不妨設 z 2＝3，在復平面內，設復數z 1，z 2 分別對應向量 OB ?， OA ?，則OA＝3，OB＝2，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OACB（如圖），連接OC，AB，則 OC ?= OA ?+ OB ?，即z 1＋z 2對應的向量為 OC ?，由平行四邊形的性質得OC2＋AB2＝2（OA2＋OB2），將OC＝4，OA＝3，OB＝2代入，得AB2＝10，設∠AOB＝θ，θ∈（0， π ），在△ABC中，由余弦定理得 cos ?θ= 1 4 ，則 sin ?θ= ?15 ?4 ，若點B在x軸上方，即B ?1 4 ， ?15 ?4 ?，則z 1= 1 2 + ?15 ?2 ?i .又z 2=3，所以 z 1 z 2 = 1 6 + ?15 ?6 ?i .

同理，若點B在x軸下方，可以得到 ?z 1 z 2 = 1 6 － ?15 ?6 ?i .

綜上， z 1 z 2 = 1 6 ± ?15 ?6 ?i .

例2 ??已知A，B是橢圓 ?x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）上兩點，點A在第一象限，O為坐標原點，OA⊥AB. 若△OAB為等腰三角形（點O，A，B按順時針排列），求 b a 的最大值．

思路分析：這是一道圓錐曲線題，如果用常規方法求解，計算量大且比較繁瑣，這里不再贅述.換個角度，由于題中涉及“旋轉”，可以嘗試用復數的三角形式來解決.

解： 設 |OA|＝ρ，A（ρ cos ?α，ρ sin ?α），則 1 ρ2 = ?cos 2α a2 + ?sin 2α b2 ?①，

設 z A＝ρ（ cos ?α＋ isin ?α），則z B= 2 ρ（ cos ?α+ isin ?α） ?cos ?－ ?π ?4 ?+ isin ?－ ?π ?4 ??，

代入橢圓方程，得 ?1 2ρ2 = ?cos 2 α－ ?π ?4 ??a2 + ?sin 2 α－ ?π ?4 ??b2 ?②，

由①②得 2 ??cos 2 α－ ?π ?4 ??a2 + ?sin 2 α－ ?π ?4 ??b2 ?= ?cos 2α a2 + ?sin 2α b2 ，

化簡，得 2（a2－b2） sin ?2α－（a2－b2） cos ?2α=a2+b2，

5 ?sin （2α－φ）= a2+b2 a2－b2 ，其中 tan ?φ= 1 2 ，φ∈ 0， ?π ?2 ?，

因為 α∈ 0， ?π ?2 ?，所以 1 ?5 ?· ?a2+b2 a2－b2 ?≤1，當且僅當α= φ 2 + ?π ?4 時，等號成立，此時， b a 取最大值， a2+b2 a2-b2 = 5 ，

所以 ?b a ≤ ?5 －1 2 ，即 b a 的最大值為 ?5 －1 2 .

從以上兩個例題來看，無論是高校的自招考試，還是涉及到旋轉的圓錐曲線綜合題，用復數的三角形式來解決，不失為一種好的思路.

4 ?教學心得

本節課如果直接教授學生復數的三角形式，會顯得有些突兀.因為學生已經學習了復數的表示方法：形如 z＝a＋b i （a，b∈ R ），如何想到復數還有三角形式？而從復數的加減法的幾何意義，聯想到乘除法是否有幾何意義，再引出復數的三角表示就顯得比較自然，這也是我們提出的“問題引領”.這正是體現了波利亞提出的“適當提問”對于學生解決問題能力的重要性.

適當提問還要提出好問題，沒有好問題就無法誘發學生深入的數學思考，深度學習就不可能真正實現.好問題應當具有不斷延展的可能性，也就是學生一眼看不到底的，但通過跳一跳，夠一夠又能獲得的.學習了復數的三角形式，通過具體的實例，學生就可以歸納總結出復數乘法的幾何意義，再將其一般化，這個過程就是培養學生從特殊到一般的抽象概括的能力.

在問題引領下，還要運用問題串的方式，逐層遞進，即如何能讓思維在問題串中淺入深出，把提問不斷引向深入.從輻角到輻角主值概念的提出，就是數學上化多為少，化復雜為簡單的體現.

教師不應滿足于通過恰當的問題，幫助學生掌握相關的知識和技能，而應通過問題引領他們進行更深入地思考，并能逐步地學會思維，從而讓學生真正成為學習的主人.

因此，不管是從知識結構的完整性考慮，還是在解題中的運用方面，補充學習復數的三角形式都顯得很有必要.

參考文獻：

［1］ 鄭毓信.數學深度教學的理論與實踐［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020.

［2］ 于道洋，寧連華.試論墨家精神及其對數學教育的啟示［J］.數學教育學報，2021，30（5）：87 91.

［3］ 單墫.解題研究［M］.上海：上海教育出版社，2013.