多元表征與整合教學，促進深度學習真正發生
——以“乘法分配律”為例談運算律教學策略

王翠麗 趙 一 （遼寧省葫蘆島市第二實驗小學）

乘法分配律是小學階段學生需要掌握的五個運算定律之一，具有重要的地位和作用。它溝通了乘除法與加減法之間的聯系，是小學數學中唯一溝通兩級運算的運算規律；它不僅適用于整數的加法和乘法運算，還適用于有理數的加法和乘法運算，在實數甚至復數的加法和乘法運算中仍然成立。運用乘法分配律可以解決較為復雜的簡便運算，解釋和推導其他的運算法則和數學公式。乘法分配律與加法交換律、加法結合律、乘法交換律、乘法結合律被譽為“數學大廈的基石”。但筆者通過對本校學生調研發現，4 ～6 年級學生對乘法分配律的掌握情況并不理想。基于學生對乘法分配律這一數學模型理解不透徹而導致錯誤頻發的現狀，筆者認為要解決這一問題，不能要求學生僅憑一節數學課就能完成對乘法分配律的學習，而是需要從多維度、多層次持續發力，助力學生真正理解乘法分配律的本質和內涵，建立數學模型，從而解決實際問題。

一、深耕“種子課”，通過多元表征，夯實運算律教學

“種子課”是承載數學知識技能、數學思想方法和數學核心素養的關鍵課。乘法分配律作為五大運算定律之一，它的新授課即為這部分內容的“種子課”。因此，深耕“種子課”，對助力學生理解算理尤為重要。

關于乘法分配律的常規教學，教師通常會通過一個具體實例引導學生用兩種方法解決問題，借助情境理解算法表示的意義，再通過不完全歸納法引導學生找出不同算式的共同本質特征，從而歸納概括乘法分配律，建立數學模型。筆者認為，這樣的教學設計只關注結構特征，是模仿性學習，導致學生對乘法分配律的本質只是淺層理解，后續會在解決問題的過程中暴露很多問題。

美國教育心理學家布魯納曾提出學習有三種表征方式：動作的、形象的和符號的。基于布魯納的觀點，為了夯實乘法分配律教學，引導學生真正理解算理，筆者認為通過多元表征，充分利用學生的已有經驗，強調形式歸納與意義理解相結合來完成乘法分配律的教學，才能促使深度學習真正發生。基于此，筆者在乘法分配律的“種子課”教學中設計了數方格、拼方格、畫方格、連方格和拆方格的系列活動，以多元表征的學習方式促進學生對乘法分配律運算關系的理解，使學生從淺層理解走向深度建構。

活動1：數方格。

筆者出示如圖1 所示的方格（4 行6 列），讓學生數一數共有多少個小方格。基于之前學過的知識內容，學生會順利得出4×6=24，即共有24 個小方格。這樣設計的目的在于引導學生復習乘法的意義，為后續學習作鋪墊。

圖1

活動2：拼方格。

筆者出示如圖2 所示的兩個方格，引導學生觀察這兩個方格的特點并提出要求：把兩個方格組合成一個大方格，并計算大方格一共有多少個小方格。學生動手操作，將兩個方格組合成如圖3 所示的大方格后列式計算，求出小方格的數量。有的學生列出算式5×3+5×4；有的學生列出算式5×7；還有的學生列出算式5×(3+4)。學生思維活躍，想出了不同的計算方法，筆者予以肯定并讓他們說明理由。

圖2

圖3

這樣的設計通過“數”與“形”相結合的方式借助動作表征、形象表征和語義表征，為學生搭建了理解的橋梁，使他們知道乘法分配律的本質就是a個c加b個c，合起來就是( )a+b個c，為初步理解乘法分配律作鋪墊。

活動3：畫方格，連方格。

經歷前兩項活動后，學生探究熱情高漲。筆者將活動難度升級，帶領學生玩起了連連看的游戲。先讓學生在方格紙上用小方格任意畫出一個大方格（每邊最多不超過9），然后引導學生用幾乘幾的算式表示出大方格的面積，寫在記錄單上。在學生完成任務后，筆者將各式各樣、有代表性的作品張貼到黑板上，帶領大家玩連連看的游戲。如圖4，筆者先挑選一個4×3的方格，取名為“四三方格”，引導學生觀察剛剛大家畫出的哪些作品可以與這個“四三方格”連接成更大的方格。

圖4

如圖5，學生找出了可以連接的方格有“四六方格”（4×6）、“三五方格”（3×5）、“七三方格”（7×3）等。筆者追問：為什么這些方格可以連在一起？這其中有什么規律呢？學生很快發現這些方格的一邊是3或者4，可以與“四三方格”連接。接下來，筆者引導學生觀察那些不能連接起來的方格，思考它們為什么不能與“四三方格”連接在一起。學生用畫出的方格演示，發現這些方格的一邊既沒有3，也沒有4，便不能連接。

圖5

接著，筆者繼續啟發學生思考，引發學生的高階思維：按照連接方式的不同，你能把連在一起的方格分類嗎？學生經過討論后得出可以分成兩類：一類是與一邊是3連接的，一類是與一邊是4連接的。筆者補充：其實還可以分為一類，就是既能與一邊是3連接，又能與一邊是4連接的，也就是3×4和3×4連接，這是一種特殊情況。以上活動通過讓學生連接和分類方格，強調形式歸納與意義理解相結合，加深對乘法分配律算理的理解，達成深度學習。

活動4：拆方格。

筆者出示一個大方格，啟發學生：如果把“七六方格”（7×6）拆分成兩個小方格，你想怎么分？學生在小組內交流自己的拆分方法，得出以下幾種分法：7×2和7×4；3×6和4×6；7×3和7×3。接下來，筆者引導學生對以上拆分方法進行分類。學生歸納出兩種方法：一種是拆分“7”；另一種是拆分“6”。針對乘法分配律除了由分到合，還需要逆向思考由合到分的情況，筆者設計了拆分方格的環節，引導學生在每一次操作之后對方法進行分類，培養了學生的歸納總結能力，發展了學生的推理意識。

接下來的歸納過程水到渠成。通過經歷上面的活動，學生充分感知、深入理解，緊緊抓住乘法分配律內在不變的“理”，理解外在變化的“形”。根據活動總結出一系列算式，通過不完全歸納法抽象概括出乘法分配律：(a±b)·c=a·c±b·c。

布魯納提倡在教學中使用直覺思維和發現法引導學生自己去發現。教師要要求學生像數學家那樣思考數學，像歷史學家那樣思考歷史，親自去發現結論和規律，使自己成為一個發現者。本節課中，筆者引導學生利用數形結合的方法理解抽象的算理，通過動作表征、形象表征、語義表征等方式，使方格連接中蘊含的知識結構與運算關系越來越清晰而具體，易于學生理解和建構，突破了運算律教學的難點。

二、設計“整合課”，構建知識體系，促使深度學習發生

根據多年的教學經驗，筆者發現學生對乘法分配律的教學內容不能單憑幾節課的教學就可以達成教學目標。學生的學習是一個不斷領悟和內化的過程。關于乘法分配律的學習，可以從二、三年級開始適當體現，到了四年級再進行系統歸納，以運算律為主線貫穿各種運算規則，從而構建運算律知識體系。這就是布魯納說的“結構思想”。深度學習也主張從知識點教學走向知識結構教學。為此，在后續的教學中，筆者繼續挖掘教學資源，引領學生深入探索，直至學生能靈活運用乘法分配律解決問題。

基于乘法分配律的廣泛應用，在六年級的復習課中筆者設計了運算律教學“整合課”，運用結構化的教學思想夯實算理教學，取得了較好的教學效果。在這節課中，筆者先創設了如下具體生活情境：媽媽每天要買一盒牛奶和一個面包，每盒牛奶3.5元，每個面包6.5元。媽媽每周買這些食品一共要花多少錢？有的學生列出算式3.5×7+6.5×7=70，有的學生列出算式( 3.5+6.5) ×7=70，得出一共需要花70 元。學生通過對比發現使用第二種方法計算更簡便。這個情境的創設旨在讓學生復習乘法分配律的相關知識。接下來，筆者引導學生回顧、思考在解決哪些數學問題時用到了乘法分配律。學生比較容易想到的是做簡便運算時用到乘法分配律，學生列舉出99×35=(1 00-1) ×35=100×35-1×35=3 465，45×19.8+55×19.8=( 45+55) ×19.8=1 980。這只是淺層次的應用。隨后，筆者結合具體實例進一步啟發學生思考還有哪些知識運用到了乘法分配律。筆者出示一個長方形，帶領學生回顧其周長公式的推導過程，即長方形周長= 長× 2+ 寬×2=（長+寬）×2，這是典型的運用乘法分配律知識解決問題的過程。這樣的實例打開了學生的思維，教師再結合剛才的范例提出自學要求，讓學生以小組為單位開展合作學習，對已經學過的知識進行系統梳理，找到應用乘法分配律知識解決的問題的路徑，并用實例加以說明。

學生經過充分討論、探究，得出以下知識運用了乘法分配律。例如，口算乘法：28×6=( 20+8) ×6=20×6+8×6=120+48=168，這個計算過程運用了乘法分配律。筆算乘法：計算43×26，第一次乘得的積43×6=258，第二次乘得的積43×20=860，把兩次結果相加，即258 + 860 = 1 118，運用了乘法分配律。小數乘法：列豎式計算4.8×1.2 時，先計算4.8×0.2，再計算4.8 × 1.0，最后把兩次乘得的積加起來，這個過程也運用了乘法分配律。梯形面積的推導過程：a×h÷2+b×h÷2=(a+b) ×h÷2 運用了乘法分配律。圓環面積：在利用公式πR2-πr2=π(R2-r2)計算圓環面積時，學生發現運用乘法分配律使計算更簡便。解方程：求5x-2x=30方程的解時，由( 5 -2)x=30，3x=30，得x=10，運用的還是乘法分配律。除了以上內容，解決扇環面積、圓柱形鋼管的體積等問題時都需要運用乘法分配律。

接下來，筆者引導學生對探究內容進行分類：求梯形面積、圓環面積、扇環面積、圓柱形鋼管體積屬于“圖形與幾何”領域內容；口算乘法、筆算乘法、小數乘法、解方程屬于“數與代數”領域內容。通過條分縷析地歸類，使學生從一節一節的課時教學中跳出來，掌握核心知識，讓學生透過知識的“不同”看到知識之間的“相同”，進而把邏輯聯系緊密、零散的知識恰當地整合，突出知識的本質。這樣的教學設計也彰顯了《義務教育數學課程標準（2022 年版）》所倡導的“注重教學內容的結構化”理念。在解決問題的基礎上，再次抽象出乘法分配律的數學模型，完成知識體系的構建。運用乘法分配律可以突破單元界限、模塊界限和領域界限，將表面看起來不相關的知識進行巧妙關聯，搭建起完整的、縱橫交錯的知識網。

關于深度學習之深度，相關研究指出，“深”在學生參與，倡導主動、積極；“深”在課程內容，倡導“知其所以然”；“深”在學習任務，倡導挑戰性、高投入；“深”在學習過程，倡導問題解決、知識運用于創新；“深”在學習結果走向批判、創造等高階思維，或整合認知與非認知的割裂，發展情感態度與價值觀。以上筆者嘗試的教學設計，從學習內容、參與方式和學習過程方面都達成了深度學習，使學生在深度學習中構建知識網絡，促進對乘法分配律的進一步理解。

任何外在的教學形式都應該為理解數學本質服務。運用多元表征深刻理解和掌握乘法分配律，巧妙設計“整合課”構建知識體系，引領學生真正理解算理，建構數學模型，使深度學習真實發生，助力學生數學核心素養的發展。