物理圖像中的兩類“斜率”的辨析與應用

楊志宇

(黑龍江省綏化市望奎縣第一中學)

物理高考大綱明確指出學生應具有應用數學處理問題的能力,能運用幾何圖形、函數圖像對物理問題進行表達和分析.物理圖像斜率是將數學和物理有效銜接的一種方式和手段,很多物理圖像問題的解決都離不開對斜率意義的分析和探討.物理圖像中有兩類斜率,這兩類斜率的物理意義不同,學生又容易將兩類斜率混淆,造成錯誤求解.本文對兩類斜率的物理意義進行辨析和討論.

1 物理圖像中的兩類斜率

1.1 切線斜率

如圖1所示,圖像上P點的切線斜率為,表示為物理量y對另一個物理量x的導數,它與函數y對x的求導結果是一致的.

圖1

1.2 割線斜率

如圖2所示,取圖像上一點P,連接OP,OP為割線,它的斜率為,即圖像上某點和坐標原點連線的斜率.顯然,只有物理圖像為過原點的一條直線時,切線斜率才與割線斜率相等.

圖2

2 兩類斜率的意義

如果圖像中的縱軸物理量y與橫軸物理量x的比值與高中階段的某個物理量的定義相同或者單位相同,那么這個斜率就有明確的物理意義,反之圖像斜率就沒有意義.但是切線斜率和割線斜率描述物理意義的形式不盡相同.

2.1 切線斜率表示的物理意義

用微小變化量的比值來反映的物理量可以用切線的斜率去表示,常見的有物理量對時間的變化率和物理量對空間位置的變化率,如表1所示.

表1

2.2 割線斜率表示的物理意義

物理量是狀態量的比值,即用某一瞬間的物理量y與物理量x的比值定義的,要用割線斜率去表示,即.比如常見的電阻,電容,電場強度等.

3 應用

兩類斜率表達的物理形式和意義是不同的,不能混為一談.在具體應用時,根據圖像y軸和x軸所表示的物理量,結合所學的物理知識,分析和哪個具有物理意義,就選用哪個形式對應的斜率進行解題.

3.1 切線斜率的應用

例1兩電荷量分別為q1和q2的點電荷放在x軸上的O、M兩點,兩電荷連線上各點電勢φ隨x變化的關系如圖3 所示,其中A、N兩點的電勢為零,ND段中C點電勢最高,則( ).

圖3

A.C點的電場強度大小為零

B.A點的電場強度大小為零

C.NC間場強方向沿x軸正方向

D.將一負點電荷從N點移到D點,電場力先做正功后做負功

3.2 割線斜率的應用

例2小燈泡通電后其電流I隨所加電壓U變化的圖線如圖4所示.P(U1,I2)為圖線上的一點.PN為P點切線,與I軸交于點N(0,I1),PQ為U軸的垂線,PM為I軸的垂線.下列說法不正確的是( ).

圖4

A.對應P點,小燈泡的電阻為

B.對應P點,小燈泡的電阻為

C.隨著所加電壓的增大,小燈泡的電阻增大

D.對應P點,小燈泡的功率為圖中矩形PQOM所圍的面積

3.3 綜合應用

例3如圖5 所示,一個小物體沿光滑斜面由A點上方從靜止開始加速下滑,在它通過的路徑中取AE并分成相等的四段,vB表示通過B點時的瞬時速度,v表示AE段的平均速度,則vB與v的關系是( ).

圖5

A.vB＜v

B.vB＝v

C.vB＞v

D.以上三種關系都有可能

圖6

4 結語

運用斜率(數學工具)解決物理問題是學生必備的品格和關鍵能力之一.運用斜率求解物理問題,關鍵是要理解斜率所對應的物理意義和規律,將斜率反映的物理特點和關系明確出來,從而一蹴而就地解決問題.教學實踐中要注重引導學生嚴格分析圖像所遵循的物理規律,并運用數學知識加以解決,從而逐步提高數形結合解決問題的思維能力.

(完)