天體物理問題的運算策略及其數學原理

徐顯濤

(湖北襄樊保康一中)

天體物理問題的運算是很多學生久攻不克的難點.客觀上是因為“天文數字”龐大又難算,主觀上則是因為未能利用數學原理合理近似,輔以算理簡化過程.本文以典型題目為例,總結一些實用的運算策略,并解釋背后的數學原理,以便師生從了解“天文數字”的概念轉變為真正領會天體物理問題中基礎運算的本質規律.

1 兩個近似

雖然萬有引力常量G值的精度不斷提高,但在高中范圍內取G＝6.67×10—11N·m2·kg—2即可,盡管如此,計算三位有效數字仍很麻煩,注意到6.666…≈6.67,于是有,相對誤差不到千分之一.雖然目前無法從數學上證明G值是有理數,但這樣的分式方便一般精度的化簡,能大大提高G值的運算效率.

若把天體實際運行的橢圓軌道簡化為便于運算的圓軌道,由萬有引力提供向心力有,化簡有,因此開普勒第三定律中的常量k實際上等于.已被證明為無理數的π的運算本就讓廣大師生無所適從,一般只能近似取為3.14,平方后得π2≈9.8696,在數值上十分接近常見的重力加速度g,因此可近似取為9.8,相對誤差不到百分之一.例如月—地檢驗時,已知月球中心和地球中心的距離r約為4×108m,月球公轉周期T約為2.4×106s,則月球繞地球做圓周運動的向心加速度,數值上取π2≈g,除以g得

從而證實了地面物體所受地球的引力和月球所受地球的引力都遵從同樣的規律,這里并沒有算出a的具體值,而是采用了“作商比大小”的數學原理,精準地給出了物理結論的實驗依據.精度要求不高時甚至可仿照g取為10的習慣操作,于是有N·m2·kg—2,系數與實際值0.169…的誤差略大于百分之一.

事實上,在計算機出現之前,天體物理問題能算出一位有效數字已屬不易,有時候甚至只要求算出數量級即可.在此情況下,以上兩個近似非常有利于徒手運算.例如太陽與地球間的平均距離r約為1.5×1011m,地球公轉周期T約為3×107s,所以太陽質量

這里沒有分開算r3和T2,而是注意到r3＝r·r2,而,剛好約去,很快算出M≈2×1030kg.可見,在天體物理問題的運算中適當變形可事半功倍.

2 比值運算

萬有引力定律和庫侖定律都是典型的平方反比律,時常要比較兩個力的相對大小以決定能否忽略其中某個力,類似上面的月—地檢驗,無須計算具體大小,直接作商就可簡化運算.

例1太陽質量M1大約是月球質量M2的2.7×107倍,太陽到地球的距離r1大約是月球到地球距離r2的3.9×102倍,試比較太陽和月球對地球的引力.

例2金星的半徑r′是地球半徑r的95%,質量M′是地球質量M的82%,求金星表面的自由落體加速度g′及金星的“第一宇宙速度”v′.已知地球表面的自由落體加速度為g,第一宇宙速度為v,忽略金星和地球的自轉.

3 高考拓展

計算是學習功底的深刻體現,不局限于天體問題,各省甚至全國物理高考都不乏需要大量運算的問題.

例3(2022年湖北卷)我國高鐵技術全球領先,乘高鐵極大節省了出行時間.假設兩火車站W和G間的鐵路里程為1080km,W和G之間還均勻分布了4個車站.列車從W站始發,經停4站后到達終點站G.設普通列車的最高速度為108km·h—1,高鐵列車的最高速度為324km·h—1.若普通列車和高鐵列車在進站和出站過程中,加速度大小均為0.5m·s—2,其余行駛時間內保持各自的最高速度勻速運動,兩種列車在每個車站停車時間相同,則從W到G乘高鐵列車出行比乘普通列車節省的時間為( ).

A.6小時25分鐘 B.6小時30分鐘

C.6小時35分鐘 D.6小時40分鐘

選項B正確.

總之,借助基本的數學原理靈活變通,既能讓物理計算又快又準,還能激發學生學習物理的興趣和攻堅克難的勇氣,并在尋常處找到不尋常的結果.

(完)