芻議斜上拋運動中的水平射程的極大值問題

張立那

(河北省石家莊市第一中學)

隨著各省市地區新課程、新教材、新高考的推進實施,試題考查越發凸顯了對“情境”的要求.“拋物運動”是生活中最常見的情境,而“斜拋運動”中的“射高”和“射程”的極值問題是高中物理中的重點和難點.本文將呈現此類問題的一些處理方法和技巧,以供參考.

情境1當拋出點和落地點等高時,首先在忽略空氣阻力的條件下,建立斜拋運動一般模型如圖1所示,其中v0為物體的拋出速度,θ為速度與水平面的夾角,g為重力加速度,采用化曲為直思想,分解速度.

圖1

水平方向的初速度v0x＝v0cosθ.

豎直方向的初速度v0y＝v0sinθ.

水平方向的位移方程為x＝v0xt＝v0tcosθ.

豎直方向的位移方程為

斜拋物體能達到的最大高度叫射高,拋出點到落地點的水平位移叫射程.

情境2當拋出點和落地點不等高時,尤其是在落點低于拋出點時,如何控制方向才會使水平射程最遠呢? 射高又如何求解?

例1如圖2 所示,某同學在高度h處以大小一定的速度v0拋出一小球,當其速度方向不同時,落地點與拋出點的水平距離即射程大小也不同,若不計空氣阻力,則最大射程為( ).

圖2

水平方向vx＝v0cosα,

豎直方向vy＝v0sinα.

方法2畫出位移矢量合成圖,如圖3 所示,在直角三角形中由勾股定理有h)2,整理得

圖3

后續處理方法同方法1,都是利用二次函數求極值的處理思路.

方法3畫出速度及速度變化的矢量圖,如圖4 所示,初速度v0大小確定,速度方向未知,末速度大小為為定值,Δv為此過程速度的變化量,方向為豎直向下,則物體的水平射程

圖4

拓展延伸一些電場中問題的求解處理,與上述情境如出一轍,也是“斜上拋”模型,仍然可采取化曲為直、速度矢量圖等方法分析.

例2如圖5所示,在勻強電場中一質量為m、電荷量為q的正粒子先后經過a、b兩點,在a點的速度大小為3v,速度方向與ab連線的夾角為53°,在b點的速度大小為4v,速度方向與ab連線的夾角為37°,ab連線長度為d,sin37°＝0.6,cos37°＝0.8.若粒子只受電場力作用,則下列說法正確的是( ).

圖5

B.場強方向與ab連線的夾角為74°

C.從a到b,粒子的運動時間為

D.從a到b,粒子的最小速度為

圖6

方法2畫出速度及速度變化的矢量圖(如圖7),虛線連接3v、4v的矢量末端,此虛線為Δv的方向,右偏下,也即場強方向,建立坐標系,設x方向與水平虛線夾角為α,則粒子在x方向做勻速運動,有粒子在a、b兩點速度分量相等,即3vcos(53°—α)＝4vcos(37°＋α),解得α＝16°,即可得出y方向或場強方向.此題其他問題求解可參考方法1.此方法十分巧妙地利用了速度變化矢量圖.

圖7

綜上所述,拋體類極值問題對物理學科核心素養要求較高,在解決此類問題時要運用多種數學物理方法和思想,同時還要注意數形結合,加強模型建構.

(完)