圓周運動中臨界問題常見題型分析

靳云雷

(山東省章丘中學)

圓周運動是運動學知識體系中的一個重要分支,與其相關的臨界問題則是各類考試考查的熱點.本文總結圓周運動中常見的幾類臨界問題,以促進學生對相關問題的理解和掌握.

1 水平面圓周運動

1.1 水平轉臺模型

水平轉臺模型中,臨界問題一般與摩擦力有關.隨著轉速的逐漸增加,物體所受摩擦力也會逐漸增加.當在某一轉速下,靜摩擦力達到最大值,此時物體則處于臨界狀態,繼續提高轉速物塊會發生相對運動.而解答這類問題的關鍵,則是對臨界情況進行準確的受力分析.

例1如圖1所示,水平轉臺上,細繩連接質量均為m的A、B兩物塊,沿半徑放置,細繩恰好伸直.A、B距軸心O分別為R和2R,物塊與轉臺間最大靜摩擦力為重力的k倍.請作出隨轉臺角速度ω的增加,A、B所受靜摩擦力FfA、FfB隨ω2的變化圖像.

圖1

,此時,A所受摩擦力為.此后,繩子產生張力,B所受摩擦力仍為kmg,對A有FfA—FT＝mω2R;對B有kmg＋FT＝mω2·2R.聯立可得FfA＝3mω2R—kmg.

當ω繼續增大,FfA也逐漸增加,當FfA＝kmg時,A、B與轉臺達到相對靜止的臨界點,ω再增加,則會出現相對滑動,設此時角速度為ω2,則有kmg＝,可得

A、B所受靜摩擦力FfA、FfB隨ω2的變化圖像如圖2、3所示.

圖3

1.2 圓錐擺

在圓錐擺模型中,一般由繩子拉力與重力的合力提供向心力,而隨著圓錐擺的變形,其向心力大小也會發生改變.這類問題的臨界狀態一般出現在繩子拉力最大時.

例2如圖4所示,AB為豎直轉軸,細繩AC、BC結點C系有質量為m的小球,兩繩能承受的最大拉力均為2mg,AC、BC均伸直時,∠ABC＝90°,∠ACB＝53°,BC＝1m,ABC能夠繞AB旋轉,C做勻速圓周運動.當轉速過快時,AC、BC會被拉斷,求AC、BC斷裂時小球的線速度.

圖4

圖5

分析可得:FAC與ω無關,說明兩繩拉緊后、未斷前AC上為恒力,即BC先斷裂,由FBC＝(ω2—7.5)m(N)可知,當FBC＝2mg,即＝27.5rad2·s—2時,BC斷裂,此時斷裂后,小球重力與AC拉力的合力提供向心力.

2 豎直面圓周運動

2.1 最高(低)點臨界問題

解答這類臨界問題,一般要分析物體在圓周運動過程中到達最高點時的運動狀況.根據情況不同,可以進一步分為“繩球模型”與“桿球模型”.“繩球模型”中,在最高點的臨界狀態,由重力提供向心力,即,則當時,可以到達最高點.“桿球模型”臨界條件中,最高點時,桿所受彈力與重力相等,即,則當v≥0時,可以到達最高點.在面對這類問題時,應當厘清題目模型及臨界情況,從而進行解答.

例3如圖6 所示,長為L的兩段繩,一端分別固定在等高的A、B兩點,另一端連接質量為m的小球,A、B間距為L.小球做圓周運動在最高點速度為v時,兩段繩中張力恰好為0.求當小球運動到最高點的速度變為2v時,每段繩的張力.

圖6

2.2 脫軌(不脫軌)問題

不脫軌問題可以根據題目情境分為“內軌模型”與“外軌模型”兩類.“內軌模型”中,小球在軌道外側運動,受到軌道的支撐.當小球經過最高點僅由重力提供向心力時,得,而后小球脫離軌道做平拋運動.“外軌模型”中,要使小球不脫離軌道,最高點速度為其臨界狀態.同時,經過最低點的速度,臨界速度為.當小球在最低點的速度,運動軌跡不超過圓心,也不脫離軌道.當最低點速度時,小球在運動至圓心平面以上某處后脫離軌道做斜上拋運動.細繩模型與其相似.

例4如圖7所示,在半徑為L的圓形軌道中,有細繩長為L,一端固定在圓心O點,一端連接一小球(視為質點),小球在最低點A時,給其一個的水平初速度,求小球脫離軌道后能到達的高度.

圖7

如圖8所示,設在圖中B點脫軌,此時繩子張力為0,由重力徑向分力提供向心力,設繩子與水平夾角為θ,有mgsinθ＝,從A到B,由動能定理得

圖8

小球脫軌后做斜上拋運動,運動至最高點時速度為vB的水平分量,由機械能守恒定律有

綜上所述,本文總結了圓周運動中幾類常見的題型,并分析其解題思路,為師生提供參考.要想快速解答問題,需要學生對解題思路、知識等進行總結,以此提升解題效率.

(完)