天體運動中應澄清的兩類問題

邵立凱

(山東省青島即墨區第五中學)

天體運動中,有兩類問題是學生一直比較困惑的,一是天體橢圓運動中萬有引力和向心力的關系,二是天體圓周運動中不同質量天體的機械能關系.筆者調查發現,學生在第一類問題上出錯的根源是對萬有引力公式和向心力公式中的“r”認識有偏差,誤認為二者是相同的;第二類問題出錯的根源則是受思維定式的影響,將引力勢能與重力勢能零勢能的選取混為一談,沒有認識到二者的區別所在.鑒于此,筆者對兩類問題分別予以辨析,以正本溯源,澄清錯誤,促進學生對該類問題的深度認識.

1 橢圓運動中萬有引力和向心力的關系

1.1 問題引入

如圖1所示,天體m繞天體M運動,其運動軌跡為橢圓,天體M處在橢圓的一個焦點上,當天體m運動到A點 或B點時,所受萬有引力和向心力的大小關系如何?

圖1

下面結合橢圓的基本知識,從萬有引力的作用效果進行討論.

1.2 分析問題

以天體m運動到B點為例,設OB間的距離為rB,天體m運動到B點的速度大小為vB,在B點,天體m所受萬有引力F萬與其速度vB垂直,如圖2所示.在該位置,天體m無切向加速度,只有法向加速度,故其所受萬用引力與向心力相等,即,需要注意的是中的rB和中的并不相同,rB表示天體m到M中心間的距離,則表示橢圓在B位置的曲率半徑,結合橢圓知識可知a2＝b2＋c2,rB＝a＋c,則;同理在A點,天體所受萬有引力與向心力亦相等,即有,其中rA＝,則b、c分別為橢圓的半長軸、半短軸和半焦距,如圖3所示.

圖2

圖3

例1“天問一號”探測器成功在火星軟著陸,標志著我國成為世界上第一個首次探測火星就實現“繞、落、巡”三項任務的國家.“天問一號”在火星停泊軌道運行時,近火點距離火星表面的高度為h1,運動至該點時的速度大小為v1,遠火點距離火星表面的高度為h2,運動至該點時的速度大小為v2.已知火星半徑為R,質量為M,“天問一號”的質量為m,萬有引力常量為G,則下列說法正確的是( ).

2 圓周運動中不同質量天體的機械能關系

2.1 問題引入

如圖4所示,兩顆人造衛星A和B都圍繞地球做勻速圓周運動,其質量之比為mA∶mB＝1∶4,周期之比為TA∶TB＝1∶8,則衛星A和衛星B的機械能大小關系如何?

圖4

2.2 分析問題

部分學生之所以認為衛星A的機械能小于衛星B的機械能,是將衛星的引力勢能類比為地面附近的重力勢能造成的,對于地面附近不同高度處的物體,可認為同時處于地面附近,因此可以取地面為零勢能面,而對處于不同軌道的衛星而言,不能認為同時處于地面附近,除非它們離地面的高度遠小于地球的半徑,故不能取地面為零勢能面,必須取無窮遠處為零勢能點.根據勢能的定義可知,將質量為m的物體由距地心為r處移動到無窮遠處,萬有引力做的功即為物體在r處所具有的引力勢能,其大小為Ep＝,則對衛星A有EpA＝,對衛星B有,又mA∶mB＝1∶4,rB＝4rA,故有EpA＝EpB,結合EkA＝EkB,可知衛星A和衛星B的機械能相同.

例2地球對其周圍的物體產生的萬有引力是通過地球周圍的引力場產生的,物體在引力場中具有的勢能被稱為引力勢能.若規定距地球無限遠處為引力勢能零點,可得到在半徑為r的軌道上做勻速圓周運動的人造地球衛星引力勢能的表達式Ep＝,其中M為地球的質量,m為衛星的質量,G為萬有引力常量.

(1)若一質量為m的人造地球衛星在半徑為2r的軌道上做勻速圓周運動,則其機械能為多少?

(2)已知在地球表面附近,對于質量為m的物體離開地面高度為h時,若規定地球表面為重力勢能零點,物體重力勢能的表達式為E0＝mgh(g為重力加速度),這個表達式雖然與題干中引力勢能的表達式在形式上有很大的差別,但二者本質相同,試證明在忽略地球自轉的情況下,當h遠小于地球半徑R時,重力勢能和引力勢能的表達式是一致的.(可能用到的數學知識:當|x|?1時,

在教學的過程中,教師對于學生存在的疑慮或困惑,決不能單憑幾個結論去解決問題.要盡可能從源頭上厘清知識的來龍去脈,促進學生對該部分知識的深度認識.只有這樣,才能從根本上消除學生心中的困惑,真正提升學生分析問題和解決問題的能力.

(完)