幾種常用的設元解應用題的方法

蔡成松

“設元”是列方程（組）解應用題中至關重要的一環.根據不同的實際問題，采用不同的設元方法，可以使解題事半功倍.那么，在解應用題時如何正確有效地設元呢？可以參考以下三種方法.

一、找準等量，直接設元

直接設元即根據題目中的等量關系，把要求的量直接用未知數表示.簡單地說，就是題目需要求什么，就直接設什么，有幾個待求量，就設出幾個未知數.只要題中的數量關系能用未知量明確地表示出來時，就可采用此方法.

例1

分析

解

二、回避問題，間接設元

間接設元即不直接對所求的目標量進行設元，而是先選取某個與目標量密切相關的其他量作為未知元，再利用這個未知元求出目標量.在解應用題時，當直接設元不容易解題時，可先回避所求目標量，充分挖掘題目中與目標量存在某種數量關系或某種比例關系的量，間接設元，從而順利解題.

例2小明騎自行車從甲地出發，先以每小時15千米的速度下坡后，再以每小時12千米的速度走平路到乙地，共用45分鐘.回來時，他又以每小時9千米的速度通過平路后，以每小時5千米的速度上坡，從乙地到甲地共用了1小時20分鐘，求甲乙兩地相距多少千米？

分析：本題涉及多個量，直接設元求解難度較大.若能找準恰當的相關量，間接設元，則可以化難為易.

解法1：

解法2

三、設而不求，增設輔助元

有些應用題，數量關系交錯復雜，條件隱而不顯，無論是直接設元還是間接設元都不能清晰地表示出其等量關系，這時不妨增設輔助元，在已知量和未知量之間搭建解題的“橋梁”，以便理順各個量之間的關系，列出方程.增加一個輔助元，是為了便于我們找到等量關系列出方程，只起到輔助解題的作用，并不需要求出它的值.

例3某商店一種商品的進價降低8%，而售價保持不變，可以使得商店的利潤提高10%，則原來的利潤率是百分之幾？

分析：本題涉及商品利潤和利潤率，直接設元求解較為棘手.由利潤=售價-進價，利潤率=（售價-進價）/進價×100%可知，利潤、利潤率均與商品售價、進價有著千絲萬縷的聯系，但是商品的具體進價、售價未知，而解題又需要它們，不妨將其作為輔助元.

解法1：

解法2：

總之，在列方程解應用題時，通常是將要求的量設為未知數（直接設元）；而有時直接設元不易找出題目中的相等關系時，應選擇題目中與要求的未知量相關的某個量為未知數（間接設元）；或增加一個可以輔助我們列出方程的量為未知數（增設輔助元）.巧妙恰當地設元會給我們的解題帶來很大的方便.