例說分類討論思想在解答函數問題中的應用

湯蘊慧

分類討論思想是數學中的一種重要思想方法和解題策略，在解答函數問題中也有著廣泛的應用.對此，筆者就函數問題中的分類討論思想的應用方法進行了剖析，以期對同學們解答函數問題有所幫助.

一、因函數的增減性不確定需分類討論

增減性是函數的一個重要性質.在比較函數值的大小，解不等式或求函數最值等函數問題中，常常需要借助函數的增減性.然而有的函數解析式中含有參變量，具有不確定性，無法直接明確函數的增減性，此時同學們要注意根據參變量的情況，對函數的增減性進行分類討論.

例1

分析

解

評注：函數增減性的確定與自變量前面系數的符號有密切關系.在正比例函數y=kx（k≠0）與一次函數y=kx+b（k≠0）中，當k>0時，此時y隨x的增大而增大；當k<0時，此時y隨x的增大而減小.

二、因函數的類型不確定需分類討論

初中階段的函數問題主要涉及到一次函數、反比例函數和二次函數.若題目中未指出函數的類型，而函數中最高項系數是含字母的不確定代數式，則要注意根據參變量的取值情況，對函數的類型進行分類討論，全方位思考問題，從而避免漏解.

例2已知函數y=（4-k）x2+4x+k與坐標軸只有兩個交點，則k的值為.

分析：本題函數類型不明確，當4-k=0時，即k=4時，該函數為一次函數，它與坐標軸有兩個交點；當4-k≠0時，即k≠4時，該函數為二次函數.若△=0，此時拋物線與x軸有一個交點，與y軸有一個交點；若圖象經過原點，此時拋物線與坐標軸也有兩個交點.所以，要想求出k的值，需要先進行分類討論.

解：

評注：本題主要考查了一次函數、二次函數的圖象與坐標軸交點的情況.由于題中沒有直接指出該函數是一次函數還是二次函數，因此解答時需用分類討論思想對字母系數的取值情況展開討論，然后確定函數的類型.

三、因函數圖象的位置不確定需分類討論

我們可以根據函數解析式得到函數圖象，但函數解析式中的系數不確定，則函數圖象在平面直角坐標系中的位置也將不明確.一般地，若題目沒有提供圖形，而根據題意，圖形的位置又有多種可能，為了避免出現漏解的情況，就要求我們根據題意對問題進行分類討論來解答.

例3已知一次函數y=kx+b的圖象與兩坐標軸圍成的三角形的面積為15，且過點（0，5），求該一次函數的解析式.

分析：根據題意，畫出草圖，如圖所示，很容易看出一次函數圖象與兩坐標軸圍成的三角形可能是△MOP，也可能是△NOP，因此需要進行分類討論.

解：

評注：由于題中一次函數與坐標軸所圍成的三角形的位置不確定，因此需要利用分類討論思想對所圍成三角形的位置情況予以分析，全面考慮，這樣才能保證解答的完整性.