談談完全平方公式的幾種變形式

洪婷婷

完全平方公式，即（a±b）2=a2+b2±2ab.它是恒等變形中的常用公式之一，也是破解數學問題的重要利器.完全平方公式經過變形或重組可以衍生出新的公式.靈活運用這些公式，可以讓我們在解題時更快捷.

運用完全平方公式及其變形式解題時需注意以下幾點：

1.a和b可以是數，可以是式子；

2.要有整體觀念，即把某個數或式子看成a或b，再運用公式解題；

3.注意運用變形公式，可以分別將a+b，a-b，a2+b2，ab看成四個整體，若已知其中兩個整體，則可以靈活運用公式及公式變形式求得另外兩個整體.

變形式1：a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab

由（a+b）2=a2+b2+2ab，（a-b）2=a2+b2-2ab，可以得到：a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab.

例1

分析

解

評注：本題利用完全平方公式的變形式a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab，分別求出x+y，y-x的值，再將其代入所求目標式中.在這一過程中，要特別注意x+y>0，y-x<0這一隱含條件.

變形式2：（a+b）2=（a-b）2+4ab

因為（a-b）2=a2+b2-2ab，所以有（a-b）2+4ab=a2+b2-2ab+4ab=a2+b2+2ab=（a+b）2.

例2

分析

解

評注：本題先通過變形，把目標式轉化為平方式，再利用完全平方公式的變形式（a+b）2=（a-b）2+4ab求出其值.

變形式3：（a-b）2=（a+b）2-4ab

因為（a+b）2=a2+b2+2ab，（a+b）2-4ab=a2+b2+2ab-4ab=a2+b2-2ab=a-b2，所以有a-b2=（a+b）2-4ab.

例3

分析

解

評注：本題利用（a-b）2=（a+b）2-4ab，得出（a+b）2+4c2=0，再結合非負數的性質求出a+b+c的值，從而使問題獲解.

變形式4：（a+b）2-（a-b）2=4ab，

由（a+b）2=（a-b）2+4ab，（a-b）2=（a+b）2-4ab，這兩個變形公式，可以得到（a+b）2-（a-b）2=4ab，即ab=14[（a+b）2-（a-b）2]

例4

分析

解

評注：本題若按照常規思路先求出a、b的值，再求ab，則較為繁瑣，而利用完全平方變形公式則可以化繁為簡.

變形式5：（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）

因為（a+b）2=a2+b2+2ab，（a-b）2=a2+b2-2ab，所以（a+b）2+（a-b）2=2（a-b）2=2（a2+b2），即a2+b2=12[（a+b）2+（a-b）2].

例5

分析

解

評注：本題利用（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）這一完全平方公式的變形式解題，使解題過程變得簡捷明了.

總之，在平時的學習中，同學們不僅要熟悉完全平方公式的結構特征，而且還要掌握它的變形和推廣形式，并注意結合題目的結構特征，靈活運用完全平方變形公式.這將會給我們的解題帶來意想不到的效果.