關(guān)注“三點(diǎn)”，求解與一元二次方程的根有關(guān)的問題

田鑫

在解答一元二次方程問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到一些與一元二次方程的根有關(guān)的問題，此時(shí)我們不僅要靈活運(yùn)用求根公式、配方法來求得方程的根，還需對(duì)方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行討論，才能順利解題.下面舉例說明在求解與一元二次方程的根有關(guān)的問題時(shí)需注意的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).

一、注意含參二次項(xiàng)的系數(shù)是否為0

對(duì)于方程ax2+bx+c=0，若a=0，則方程為一元一次方程，無法根據(jù)求根公式解題.只有在a≠0時(shí)，方程才是一元二次方程，此時(shí)才能根據(jù)求根公式、韋達(dá)定理解題.因此，判斷含參二次項(xiàng)的系數(shù)是否為0，是解答一元二次方程的根的問題的第一步.

例1

解

說明

二、注意方程的根的判別式△與0的關(guān)系

在解答與一元二次方程的根有關(guān)的問題時(shí)，要關(guān)注一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2-4ac.①當(dāng)△>0時(shí)，方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△=0時(shí)，方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.以上結(jié)論反過來也成立.只有明確了方程的根的判別式△與0的關(guān)系，才能確定方程的根的個(gè)數(shù)，獲得正確的答案.

例2方程x2-3x+4=0與方程x2-2x-5=0的所有實(shí)數(shù)根的和是.

解：

說明：判斷方程的根的判別式△與0的關(guān)系，是解答一元二次方程的根的問題的關(guān)鍵一步.若△<0，則方程無實(shí)數(shù)根，就不能探討方程的根的問題了.

例3關(guān)于x的一元二次方程x2+mx-m-2=0的根的情況是（）.

A.有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根

D.實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)由m的值確定

解：

說明：我們根據(jù)題意，判斷一元二次方程的根的判別式△=b2-4ac與0的關(guān)系，即可判斷出方程的根的個(gè)數(shù).

三、注意把握方程的根與系數(shù)的關(guān)系

一般地，（1）若一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，且x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根，則方程的根與系數(shù)的關(guān)系為x1+x2=-p，x1x2=q；（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，且x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，則方程的根與系數(shù)的關(guān)系為x1+x2=-ba，x1x2=ca，反過來也成立，即ba=-（x1+x2），ca=x1x2.該方程的根與系數(shù)的關(guān)系，也被稱為韋達(dá)定理.根據(jù)韋達(dá)定理，可由方程中的系數(shù)確定根的大小，也可以根據(jù)已知的兩根確定方程中系數(shù)的值.

例4

解

說明：先將一元二次方程化為一般式，根據(jù)方程的根的判別式大于0，列出關(guān)于m的不等式，即可求出不等式的解集，判斷出②的正確性；再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之積為6-m，這只有在m=0時(shí)才能成立，即可判定①錯(cuò)誤；將選項(xiàng)③中的二次函數(shù)式整理后，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出兩根之和與兩根之積，并令y=0，即可建立關(guān)于x的方程，求出方程的解，確定二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，這就說明③正確.

例5

解

說明：在解答本題時(shí)，要先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求得兩根之和與兩根之積；再根據(jù)兩根之間的關(guān)系，求得方程中系數(shù)的關(guān)系；最后利用配方法化簡(jiǎn)求值即可解題．

總之，當(dāng)遇到與一元二次方程的根有關(guān)的問題，如：（1）判斷方程的根的個(gè)數(shù)；（2）判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根；（3）求與方程的兩根相關(guān)的關(guān)系式的值；（4）由方程的根求參數(shù)的取值范圍；（5）已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知數(shù)；（6）判斷兩根的符號(hào)問題時(shí)，就需重點(diǎn)關(guān)注二次項(xiàng)的系數(shù)、方程的根的判別式與0的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系.這樣才能避免出現(xiàn)疏漏，順利求得正確的答案.