宜用反證法證明的幾類問題

陳溪

反證法是一種間接證明方法.它著眼于問題的反面，先假設命題結論的反面成立，再根據假設的反面結論和題設條件進行縝密的推理論證，推導出與已知條件、定理、公理等相矛盾的結果，得出假設不成立，最后判定原命題為真命題.那么，什么情況下適合運用反證法解題呢？下面介紹幾種宜用反證法解題的命題形式.

一、唯一型命題

唯一型命題是指所要求證的結論中含有“唯一”“只有一個”等字眼的命題.由于唯一就是“獨一無二”，解題時一般不好直接論證，常常需借助反證法來予以證明.此類問題中結論的反面是“不是唯一的”“至少有兩個不同的”，由此推出矛盾，來否定不唯一，從而肯定唯一.

例1

分析

證明

評注：在利用反證法解題時，同學們特別要注意反面假設的正確性，否則會使整個反證過程出錯.對于唯一性命題而言，“唯一”，即“有且只有一個”，其假設的反面為“不止一個”，也就是“至少有兩個”.

二、否定型命題

否定型命題是指命題的結論以“無”“沒有”“不是”“不能”“不等于”“不存在”等否定形式出現.因為我們所掌握的絕大部分概念、公理、定理、法則、公式等都是肯定性的斷言，所以直接證明較難，故采用反證法可把否定性的斷言轉化為某種肯定性的斷言，從而找到推理的途徑.

例2

分析

證明

評注：對于否定型命題而言，它的反面往往為肯定性判斷，運用肯定性的斷言去推理一個命題要比運用否定性的斷言去推證一個命題更直觀、容易.

三、至少（多）型命題

至少（多）型命題的結論中經常出現“至少”“至多”“最少”“最多”等這樣的詞語，由于結論涉及的對象往往不止一個，我們能找到直接論證的理論依據很少，故常用反證法.通過添加否定結論這個新的假設，就可以推出更多的結論，從而使命題容易獲證.

例3若a1a2=2（b1+b2），試證明：方程x2+a1x+a2=0與x2+b1x+b2=0至少有一個方程有實數根.

分析：題目中出現“至少”的字眼，因此可以借助“反證法”進行求證.

證明：

例4試證明：任給m，n，p三個實數，則下列三個不等式中至多有兩個不等式同時成立：|m|<|n-p|，|n|<|p-m|，|p|<|m-n|.

分析：題目中出現“至多”一詞，因此可以利用反證法予以證明.

證明：根據實數的性質，不妨設實數m，n，p在數軸上對應的三點如圖2中M、N、P所示：

評注：若題目中的結論詞是“至少有一個”，則反設結論詞為“一個也沒有”；結論詞是“至少有n個”，則反設結論詞為“至多有（n-1）個”；結論詞是“至多有一個”，則反設結論詞為“至少有兩個”；結論詞是“至多有n個”，則反設結論詞為“至少有（n+1）個”.

總之，對于某些數學命題，若直接證明行不通，同學們要注意以退為進，逆向思考，巧用反證法，從而出奇制勝.