例析二次函數最值問題的解答方法

胡玉華

二次函數是初中數學中最重要的內容之一.它不僅是中考必考的知識點，還是初高中數學銜接的重要內容.其中最值問題是學習二次函數時的一個難點.此類問題形式多變，計算復雜.在求解二次函數最值問題時，同學們不僅需熟練掌握二次函數的圖象及性質，還需要靈活運用數形結合、分類討論等數學思想.本文將結合例題，談一談二次函數最值問題的三種常見類型及解答方法.

一、“定軸定區間”中的最值問題

如果我們由題目已知函數的對稱軸與自變量的取值區間，那么該題目就歸類為“定軸定區間”的問題.這一類問題屬于二次函數最值問題中較為簡單的，只需要求出函數解析式，并根據解析式畫出對應的函數圖象，就可以知道取最大值、最小值的位置.需要注意的是，若題目給出自變量的取值范圍是一個閉區間，那么函數的最值不僅可能位于函數的頂點處，還可能在范圍區間的兩個端點.

例1已知二次函數的表達式為y=x2-2x-3，當-2≤x≤2時，求函數的最小值與最大值.

分析：根據函數的解析式y=x2-2x-3和二次函數的性質，可以得到該函數的對稱軸和開口方向，畫出函數圖象，然后根據-2≤x≤2得到取最大值和最小值的位置.

解：因為二次函數y=x2-2x-3=（x-1）2-4，所以該函數的對稱軸為x=1，且函數圖象開口向上，大致圖象如圖1所示：

點評：本題根據函數解析式求出對稱軸的解析式，然后畫出圖象，利用二次函數的圖象與性質，以及數形結合思想來解答.

二、“定軸動區間”中的最值問題

如果根據題目，我們已知函數的對稱軸，但是自變量的取值區間不固定，那么該題目就歸類為“定軸動區間”問題.這類問題無法像“定軸定區間”問題一樣直接比較頂點值和端點值的大小，需要依照對稱軸在區間的左側、中間還是右側展開分類討論，后續的解答方法類似于“定軸定區間”問題.

例2

分析

解

點評：確定一個二次函數的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數端點處的函數值，比較這些函數值，從而獲得最值.

三、“動軸定區間”中的最值問題

這一類問題和“定軸動區間”中的最值問題類似，只不過是區間固定而對稱軸是一個參數，由于對稱軸的不確定性，我們也需要按照對稱軸在給定區間的左側、中間還是右側展開分類討論，其中如果對稱軸在區間內，最值往往在對稱軸處取到.

例3

分析

解

點評：本題中，當頂點在區間內時頂點是函數的最值；當頂點不在區間內時端點是函數的最值.分類討論是解題的關鍵.

通過分析以上幾種方法可以發現，在求解二次函數最值問題時，同學們需熟練掌握二次函數的相關知識，并能靈活運用二次函數的圖象、性質以及數形結合思想與分類討論思想.對于這種綜合性較強的問題，同學們平時一定要多歸納總結才能觸類旁通.