讓幾何畫板用在當用時

劉小寶 徐利萍 汪屹

“幾何畫板”軟件的“實時數據”“動態演示”等功能在揭示概念本質、擴大驗證樣本、演示圖形變化過程等方面具有優勢。筆者依托《平行四邊形的認識》的教學進行了“幾何畫板”的應用研究，旨在幫助學生突破學習難點，實現深度學習。

一、動態呈現圖形生成過程，揭示概念本質

兩組對邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形。顯然，平行四邊形是從邊的特殊位置關系定義的。然而，在常規教學條件下，對于平行四邊形“對邊平行”這一顯著特征，學生不僅感受不深刻，還會遇到驗證困難的問題。一般地，驗證平行四邊形對邊平行需要借助中學幾何中的平行判定定理，小學生沒有這個認知基礎。此種情況下，幾何畫板的“動態演示”和“實時數據”功能可以發揮輔助學習作用。

課堂上，在初次呈現平行四邊形時，教師不是直接給出圖形，而是先用幾何畫板動態生成兩組相交的平行線，讓學生找出平行四邊形，再通過動態演示，讓學生見證平行四邊形“生成”的過程，初步感知平行四邊形。隨后，教師用幾何畫板動態演示平移一組平行線之間的垂線段的過程，并實時顯示這條垂線段的長度（如圖1）。學生觀察到長度不變，驗證了平行四邊形兩條對邊所在直線不相交，進而得出平行四邊形對邊平行的結論。

在揭示平行四邊形概念時，教師用幾何畫板拖曳圖形，讓平行四邊形不斷改變形態（如圖2、圖3所示），并提問：這些圖形還是平行四邊形嗎？為什么？在教師的啟發下，學生發現這些圖形的共性是對邊始終保持平行。隨后，教師引導學生歸納平行四邊形的概念：什么樣的圖形是平行四邊形呢？學生很容易得出：兩組對邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形。

直觀的演示、動態的呈現使學生觀察到平行四邊形兩組對邊分別平行的關系，深刻地理解了概念的本質。

二、擴大驗證特征的樣本量，增強結論可信度

平行四邊形除了對邊平行這個顯著特征，還有對邊相等、對角相等的特征。學生一般通過猜想和動手操作，驗證并理解平行四邊形對邊相等、對角相等的特征，但是由于測量有誤差、樣本數量有限等，所得結論的可信度不足。幾何畫板隨意變換平行四邊形的形態并實時生成相關數據的功能，能擴大驗證所需的樣本數量，準確顯示相關數據，增強結論的可信度。

首先，學生在教師引導下通過測量手中的平行四邊形卡片，猜想其對邊相等、對角相等。接著，教師以“是不是任意一個平行四邊形都有這樣的特征呢”，引導學生提出擴大樣本數量，進一步驗證的需求。然后，學生用幾何畫板拖曳圖形，將平行四邊形隨機變形。幾何畫板自動同步顯示平行四邊形的邊長數據和角的度數。在樣本增多、形態隨機，甚至出現極端情況的前提下，學生通過觀察數據，充分感受到任意一個平行四邊形都具有對邊相等、對角相等的特征。

以上教學，教師引導學生在變化中找不變，輕松地達到了認識平行四邊形特征的目標。

三、演示圖形轉化的過程，培養幾何直觀

長方形、正方形都是特殊的平行四邊形。對于這三種圖形的關系，隨著幾何畫板中的圖形多次在一般平行四邊形和長方形之間轉換，學生已經有感性認知，教師可幫助學生深化認知，培養幾何直觀。

首先，教師用幾何畫板將一般的平行四邊形拖曳成長方形，并引導學生關注角度數據的變化。當四個角呈90°時，學生馬上辨認出長方形。教師提問：長方形是平行四邊形嗎？為什么？學生抓住動態演示過程中兩組對邊始終分別平行這一概念本質，肯定地回答“是”，直觀地認識到長方形是特殊的平行四邊形。教師追問它特殊在哪里，學生通過觀察角度數據的變化，很容易得到“角特殊”這一結論。教師進一步引導：能不能讓它變得更特殊一點，變成正方形？學生在教師的啟發下關注邊的特殊性，并在幾何畫板實時顯示邊長數據的情況下進行圖形拖曳的操作。動態演示的過程讓學生充分體會到正方形角特殊，邊也特殊，它也是特殊的平行四邊形。

幾何畫板將靜態的圖形進行動態轉換，使學生不僅理解了長方形和正方形具備平行四邊形的特征，還深刻地認識到它們各自的特殊之處。這樣教學既鞏固了學生對平行四邊形概念本質的理解，又拓展了概念的外延。

四、直面學生的困惑點，發展空間觀念

認識平行四邊形的高是學生學習的難點。學生很容易找到水平方向的底所對應的高，但是向其他方向作高時經常出現找錯對邊的情況。另外，對于平行四邊形外的高，學生很難想象并理解。教師可以利用幾何畫板給學生的空間想象以具象支撐，幫助學生突破難點。

學生自學微課“平行四邊形的高”后，教師從平行四邊形一條邊中間的一點引出一條垂線段，并提問“從這點出發畫的這條垂線段是高嗎”，引導學生聚焦“找準點”，進一步理解“邊上一點”指的是邊上的任意一點。然后，教師引導學生思考“高”的本質：上下這組對邊之間有多少條高，長度相等嗎？學生發現：“高”實際上是平行四邊形對邊之間的垂線段。同時，教師在幾何畫板中動態拖拽高的位置，實時顯示高的長度數據，讓學生直觀地看到高在圖形外的情況（如圖4），喚醒學生對平行線之間的距離處處相等的已有認知，使他們輕松理解一組對邊之間有無數條高且長度相等。

隨后，教師先演示從平行四邊形“斜邊”上的一點引出垂線段（如圖5），并提問“這條線段是這個平行四邊形的高嗎”，引導學生聚焦“找對邊”，然后通過追問“對邊是哪條邊”，讓學生明確應該找點所在邊的對邊，體會找對邊的重要性。

本節課的教學中，幾何畫板在學生的問題形成處、思維發展處、能力提升處充分發揮輔助學習作用。教師在圖形教學中應用幾何畫板讓理有形的依托、形有數的支撐，有利于發展學生的空間觀念，提升學生的數學素養。

（作者單位：劉小寶，武漢市教育科學研究院；徐利萍，武漢市武昌區教師培訓中心；汪屹，武漢市武昌區中山路小學）

責任編輯? 劉佳