初中生幾何證明題解題思維能力培養析談

林杰

【摘要】社會主義新時代要求培養高素質的綜合型人才，初中數學在發掘學生邏輯思維、空間想象思維等方面的能力具有重要作用.在初中數學教學中，空間幾何是一項重要的教學內容，空間幾何對于學生綜合能力的培養具有實踐意義.文章以如何培養初中學生幾何證明題解題思維能力為主線，從當今的教育現狀出發，簡要分析了現如今初中生數學思維能力培養中存在的問題、培養初中生幾何證明題解題思維能力的意義以及對存在的問題和具體意義進行分析，提出相應的培養策略，以期對今后初中數學中空間幾何及相關內容的教學提供參考.

【關鍵詞】幾何證明；數學思維能力；解題思維

在初中數學教學中，幾何證明是一塊重要的內容，空間幾何知識的學習能培養學生的空間想象能力、推理論證能力等.教師通過對空間幾何的系統教學，培養學生這些相應的能力，對于學生解決生活實際問題具有重要意義.

一、現今初中數學思維能力培養教學中存在的問題

在初中數學教學內容結構中，幾何證明占據了較大的比重.在初中數學中幾何證明這部分知識的解題思維培養教學雖然已經具備了一定的成效和適用性，但是還是比較缺乏活性.比如教師教學培養方法不夠靈活、教師太注重教材、教師對學生個體差異考慮不全面以及教師教授的解題方法較單一等.而這些問題對培養學生初中數學幾何證明題解題思維能力有著較大的阻力，成為初中數學教學發展的一大反推力.

（一）教學模式古板，以教師講解為主

由于受到傳統教學模式根深蒂固的影響，以及教學壓力過重，即使是在新的教育背景下，要想完成新的教育理念和教育方式的更新也存在較大困難.由于傳統教學模式的影響，即使教師在教學過程中有意識地避開傳統的教學模式，積極向新的教育理念和教學模式靠近，但免不了思維還是會受傳統教學模式的影響，難以做到真正的創新教學，總會不自覺單方面地將知識傳授給學生，學生就成了知識的接收工具.另外，由于教學工作量較大，教師需要教授給學生的知識過于繁雜，這就使學生很難有充足的時間去探索新知識、新的解題方式方法，只能一味地接受教師給的現成的知識和解題思維.正是因為這樣的問題存在，從而大大禁錮了學生思維能力的發展.而在幾何證明這種需要較強思維邏輯能力才能掌握的數學知識中，各種各樣的問題和困難也將陸續產生.

（二）課堂教學專注于課本，與生活脫軌

當前的初中數學教學理念注重與生活相聯系，讓學生學習生活中的數學.而一些教師在教授過程中往往“照本宣科”，一味地按照課本上的解題方式給學生講解，完全沒有創新和結合生活.就幾何證明而言，有很多的幾何證明題往往來自生活實際，要想讓學生更好地掌握幾何證明題的解題思維，單單課本上那點東西是完全不夠的.

（三）沒有充分考慮學生個體差異性

世界上沒有完全相同的樹葉，人也一樣.每個學生都屬于完全獨立的個體，對于相同的問題，可能會有多種多樣的思考方式和結果.因此，在針對同一個幾何證明問題時，不同學生的思考方式也會存在差異，有的學生可能邏輯思維能力強，而有的學生邏輯思維能力弱.幾何證明題檢驗學生的思維能力往往是多方面的，需要學生具備多方面的數學思維能力，因此，教師對于學生幾何證明題解題思維能力的培養要從不同的方面入手.而很多教師在對學生幾何證明題解題思維能力培養的過程中往往會忽略學生個體間的差異，采用所謂的“一律平等”的方式進行培養，導致培養效果差.

（四）解題方法缺乏多樣化

幾何證明題考查了學生靈活運用多種思維的能力.不同的學生，各有所長，有的學生可能綜合思維能力強，有的學生邏輯思維能力較強，有的學生反證能力較強.而大多數幾何證明題的證明方法不止一種，學生可以從多個方面著手證明，所以學生就可以根據自己的長處，結合自己擅長的方式，找準證明方向.而在實際初中數學幾何證明題的教學中，教師的解題教學方法較為單一，從而在一定程度上限制了學生幾何證明題思維的發散.

二、幾何證明題解題思維能力培養的意義

（一）提高學生邏輯推理能力

在解答幾何證明題的過程中，解題步驟往往需要根據一定的理論依據和條件說明進行逐步推理，這對學生的邏輯思維能力和推理能力有著很大的考驗.教師帶領學生掌握基本的理論關鍵后，再通過實際例題，進行反復練習，逐漸找準幾何證明題的解題步驟和思路，并對學生的邏輯推理能力進行反復的鍛煉，對進一步提高學生邏輯推理能力有著積極意義

（二）加強學生對幾何語言的理解

幾何題往往由文字、符號和圖形組成，而這些組成部分被稱為幾何語言.在對學生幾何證明題解題思維能力培養的過程中會涉及對幾何題中文字、符號、圖形的理解.教師通過讓學生反復理解幾何語言，以此強化學生對整個幾何證明題的理解以及解題思維框架的構建.因此，教師通過對學生幾何證明題解題思維能力的培養，不僅能夠讓學生對幾何語言進行深入的理解，而且對學生數學學科素養的培養有著一定的幫助.

（三）提高學生的空間思維能力

幾何是研究空間結構及性質的一門學科，是數學這個大學科體系的重要分支.幾何指對空間結構的研究，也就說明了其對人類空間思維能力的培養有著很大的幫助.而幾何證明題就是幾何這門學科培養學生空間思維能力的方法和途徑的載體.在初中數學教學中，教師借助這一載體，是提高學生空間思維能力的重要途徑.

三、初中生幾何證明題解題思維能力培養的策略

（一）創新教學方式，注重學生學習興趣的培養

傳統的教學方式是教師教、學生聽，師生互動交流少，導致教師無法掌握學生的學習情況，也無法了解學生對知識的理解程度，這對學生能力的培養有著很大的局限性.在初中數學教學中，空間幾何這部分內容很抽象，學生需要用上抽象思維、邏輯推理等能力.傳統的初中數學教學方式很難調動學生的學習主動性，也無法引起學生的課堂學習興趣，這對教學來說是很不利的.因此，教師應創新教學方式，以學生喜聞樂見的方式進行教學，培養學生學習的興趣，以達到事半功倍的效果.如，在教學“三角形”這一部分內容時，教師可以讓學生舉一些生活中常見的三角形事物或在生活中利用三角形原理的事物進行導入，提高學生的課堂參與感、激發學生的學習興趣的同時，讓學生理解三角形的形態或三角形具有穩定性這一特征.再如，在教學“三角形全等的判定方法”的過程中，學生對于“邊角邊”“角邊角”“角角邊”“邊邊邊”“直角邊斜邊”這五個定理的理解和記憶很容易出現偏差，因此教師在教學過程中，應充分考慮學生能力的發展特點，將每一個定理設置成一個個活動，如先預設一個情境，讓學生按步驟完成情境內容，看學生是否能得到預定定理，如果不能得到預定定理，分析原因是什么，再讓學生實際參與活動的例證中，根據自己實踐證明的結果，推斷能夠達到預定定理的條件，或是不能達到預定定理的原因.根據這一活動內容，可以培養學生的推斷假設能力，提高學生的課堂參與感、成就感，激發學生的學習興趣，讓學生在玩中學，從而提高學生對知識掌握的程度，在幾何解題應用某一定理時才不會找錯三角形全等的條件.

（二）數學問題生活化

陶行知先生說：“生活即教育，教育即生活.”由此可見，生活與教育息息相關，我們不能脫離生活而簡單地搞教育，要培養實踐型人才，將數學問題與生活中的實際問題相結合就是很好的方法，檢驗學生是否具有數學思維的方法之一就是學生能否學以致用.生活處處皆數學，我們在生活中經常能用到數學知識，數學也源于生活，因此數學也可以解決實際生活問題.如我們的家里面會有一些簡單的置物架，置物板的下方往往有一條斜的小木棒連接木板外緣與墻體，一塊兒木板要如何才能垂直于墻面且平衡在墻上呢？小木條的存在就與墻體和置物板形成一個三角形，這就是利用了三角形具有穩定性的原理.如果是單純地講解三角形具有穩定性，學生或許也能記住，但是將數學知識與實際生活問題相結合，將數學問題生活化無疑效率更高.

（三）日常教學中的能力培養

1.抽象、具象能力

在空間幾何中，經常出現點、線、面根據不同條件在空間中的變換，這就需要學生發揮自己的想象，根據不同的條件在腦海中構建不同的立體圖形，并尋找他們變換的關聯，再將這種變換引發的結果應用到具體的解題中.空間幾何對學生的抽象思維能力要求很高，對于初中生而言，他們的空間想象能力有限，其應用也是較為缺乏的，因此在教學過程中，教師要注意引導學生進行空間想象，利用具體形象去開發他們的空間思維，培養學生抽象能力.教師可以在日常授課時有意無意的就一些簡單的想象題對學生空間想象能力進行培養，并引導其進一步應用到初中數學幾何證明的解題中.

在空間幾何證明題中，最考驗學生思維想象能力的是立體圖形和動點問題.初中生認知有限，對于初中生而言，簡單的一維和二維都可以理解，但是涉及空間的變換就有難度了.如圖1，已知立方體ABCD-EFDH，求證△ABF≌△HGC.剛剛學習幾何的學生，很難看懂后面隱藏的虛線，也很難理解其意義，教師在教學過程中需要用通俗的語言告訴學生：“其實它后面的并不是虛線，只是我們從一個方位無法看見圖形的全貌，因此采用虛線表示看不見的線段.”并需要借助教具向學生展示，幫助其建立立體的概念，培養學生空間思維，然后才能教學生對應地理解圖形并進行解題.解題思路如下：

（1）要將ABCD分別與EFGH進行對應，明確立方體的對應邊相等；

（2）找到正面△ABF與背面的△HGC；

（3）將三角形中的邊進行一一對應，AB=GH，BF=GC，AF=HC；

（4）利用“邊邊邊”定理證明△ABF≌△HGC.

2.信息提取、推理能力

空間幾何證明題還有一個特點，在題目中將一些解題信息用其他語言表達出來，而這就需要學生有信息提取能力，將這一類轉換表達的敘述用通俗的表達呈現出來.另一類題是需要學生理解并記住一些圖形的特點，并在已知條件中提煉出來再用.這就要求教師在日常教學中，注重學生信息提取能力的培養.比如，同一定理的不同說法，要給學生都講解提點一下，并分析在不同的情況下的具體表述方法，尤其是剛開始學習空間幾何的學生或理解能力有待提高的學生，可以進行單獨訓練.如圖2，已知四邊形ABCD為平行四邊形，AE=CF，求證∠E=∠F.本題解題關鍵一是需要學生記得平行四邊形的相關知識，如平行四邊形對角相等、對邊相等；二是需要學生學會觀察，巧妙聯系各已知條件，添加輔助線構建三角形.解題思路如下：

（1）連接AC（構建三角形）；

（2）在△ABC和△CDA中（找到有聯系的兩個三角形）；

∵AB=CD，BC=DA，AC=CA（尋找兩個三角形全等的條件），

∴△ABC≌△CDA（SSS），

∴∠B=∠D（再次提取有用條件）.

∵AB=CD，AE=CF，

∴BE=DF.

（3）在△BCE和△DAF中（找到有聯系的兩個三角形）.

∵BE=DF，

∠B=∠D，

BC=DA，

∴△BCE≌△DAF（SAS），

∴∠E=∠F.

在空間幾何的已知條件中還含有一些隱藏條件，學生需要主動推理出隱藏的條件，很多時候，這些隱藏條件就是解題的關鍵，這就需要培養學生的推理能力，讓學生在獨立情況下也能用這一能力進行獨立思考，尋求解題思路.對于這一類題型，教師在教學過程中要引導學生構建有利條件，切記告訴學生不能嫌麻煩，有些題看似構建的輔助線沒用，實則是要進一步推理才能得出一些實際條件.

（四）解題方法多樣化

空間幾何的證明一般都有好幾個切入點，也就是一個題有多條解題思路，只是有簡有繁.首先，教師在平時上課講授的過程中，應盡量為學生多講解幾條解題思路，學生根據思維的個性差異選擇合適自己的解題思路.其次，教師要積極引導學生主動探索自己的解題思路，培養學生探索的能力，不讓學生局限于教師所限定的方法中.最后，對于有主動意識的學生，他們的思維比較活躍，他們會在課堂上提出一些新思路.“三人行，必有我師焉.”教師要敢于肯定學生的正確解題思路，并給予贊揚，對于提出錯誤思路的學生也要給予鼓勵.空間幾何的解題思路比較多，教師在教學過程中要注意解題方法多樣性，培養學生發散思維.

1.作輔助線法

在空間幾何的解題過程中，最常用的就是作輔助線法.通過在已知的圖形中作相應的輔助線，可以讓已知條件更加清晰明了，或讓一些隱藏的條件在輔助線的作用下更直接地體現出來.如圖3，已知∠1=∠2，AB>AC，求證BD>DC.

在本題中，可以作輔助線，如圖4，在AB上取一點M，連接DM，使得AM=AC，

在△ADC和△ADM中，

∵AM=AC，∠1=∠2，AD=AD，

∴△ADC≌△ADM，

∴∠3=∠4，CD=MD.

∵∠BMD>∠3=∠4>∠B，

∴∠BMD>∠B，

∴BD>DM，

∴BD>DC.

在上面的題目中，其實并不能直接比較BD和DC的長短，通過作輔助線構建兩個全等的三角形，在條件轉換后即可比較BD和DC的長短.

2.分析綜合法

這種方法在整個幾何證明題解題中比較常見，也比較容易掌握.該方法即通過正向思維邏輯關系，對已知條件進行深入分析，再通過進一步層層推理，最終得出想要的結果.另外，還可以通過逆向思維邏輯方式，從已有的結果出發進行反向推理，當最終推理得出的結果與已有的條件、定義以及結論相反或相違背，則證明結果正確.

3.反證法

這種方法也屬于逆向思維的靈活運用.在解題過程中，即通過先將假設題目中給出的結論不成立，然后根據假設進行層層推理，如果最終推理出的結果與已知的定義、條件等相違背，則證明結論是正確的.

4.面積法

這種方法相對另外幾種方法而言較為少用，一般針對一些特殊的問題才會用到.該方法即將幾何證明題中的幾何關系轉變為圖形的面積關系，從而達到最終的證明目的.

結 語

幾何對于培養學生空間想象思維、邏輯思維等能力具有重要意義，但初中生學習幾何還是有點難度的，因此，幾何知識在初中數學中占據了很大的比重，是教學的重點和難點，所以教師在幾何知識的教學中，應以多樣化的教學方式，引導學生掌握解題規律，培養學生解題思維，提升學生解答幾何證明題的水平，為學生的終身發展打下基礎.

【參考文獻】

[1]劉彩霞.初中生幾何題解答過程中常見錯誤及應對策略[J].中學課程輔導（教師教育），2020（21）：111.

[2]陳福成.培養初中生平面幾何解題能力的措施[J].現代中學生（初中版），2020（20）：39-41.

[3]關嘉微.基于SOLO理論的初中生平面幾何解題思維能力的調查研究[D].鞍山：鞍山師范學院，2020.

[4]饒莎.初中生平面幾何解題能力及其培養研究[D].南昌：江西師范大學，2020.

[5]李區婷.應用動態數學技術解決初中平面幾何開放題的教學研究[D].桂林：廣西師范大學，2020.

[6]吳輝宇.初中數學“圖形與幾何”有效教學探究[D].湘潭：湖南科技大學，2020.

[7]李娜.基于知識圖譜的初中生幾何直觀能力培養策略及應用研究[D].煙臺：魯東大學，2020.

[8]周新蓮.基于表征的視角提升初中生的幾何思維水平[J].廣東第二師范學院學報，2015（05）：101-104.