壓縮載荷下不同微觀結構浮力材料力學特性研究

高 博，陳章蘭，孫承猛，王景澤，崔維成

（1.集美大學輪機工程學院，福建廈門 361021；2.山東交通學院船舶與港口工程學院，山東威海 264209；3.西湖大學工學院，浙江省海岸帶環境與資源研究重點實驗室，杭州 310024）

0 引 言

微珠復合泡沫材料是一種常見的固體浮力材料，主要由空心玻璃微珠、環氧樹脂組成，具有強度高、密度低、吸水率低、可機加工等優異的特性，是深海無人/載人潛水器的一種重要材料[1]。在我國“十三五”期間開展全海深無人/載人潛水器研制時，發現國內外所有的供應商中沒有一家可以提供滿足潛水器設計規范要求的強度級別的浮力材料，這是因為當前玻璃微珠/環氧樹脂型的固體浮力材料基本上已經優化到了強度極限，不太可能指望生產廠家在短期內能夠生產出滿足規范強度要求的新產品[2]。這就要求在全海深無人/載人潛水器中超規范使用現有的浮力材料。對浮力材料的有效彈性模量、破壞準則等力學特性更深入的了解，將為浮力材料如何超規范使用，如安全措施標準選擇，提供一定的理論支撐。對微珠復合泡沫材料力學行為相關的研究，主要涉及模量和強度的理論和數值仿真預測、以及試驗研究。例如：盧子興利用三相、四相、五相球模型預測了浮力材料的有效彈性模量[3-8]；陳鹿等[9]利用ANSYS 軟件從微觀角度分析固體浮力材料的彈性模量；Marur 等[10]采用理論和數值方法研究了浮力材料的宏觀彈性行為；Yu 等[11]利用有限元軟件，從微觀結構出發，預測浮力材料的彈性力學行為；Bardella[12-16]通過建立包含多微珠三維有限元模型，分析和研究浮力材料的破壞準則，以及涂層對浮力材料性能的影響。理論計算結果通常表示材料的平均水平，不能較好體現局部的不同；有限元模型通常對浮力材料細觀結構進行理想化，如假設微珠直徑（外徑）一樣，均勻分布在基體中，材料各向同性[17]。研究者對于含有不同微珠外徑、壁厚等浮力材料強度預測還較少報道。為了更好地了解由不同外徑、壁厚組成浮力材料的應力分布，以及對于微珠破壞的影響，提出考慮微珠大小、壁厚和體積分數等因素后材料有效彈性模量的預測公式、微珠彈性應變能等。本文采用ANSYS 軟件，建立由多種微珠外徑、壁厚、體積分數組合而成單胞有限元模型，分析壓縮載荷下浮力材料有效彈性模量的影響因素，相鄰微珠外徑不同、壁厚不同等的應力分布，探討浮力材料的強度預測問題，同時通過試驗驗證破壞準則。

1 彈性模量計算

基于微分等效介質理論，浮力材料中均勻加入等體積的空心玻璃微珠，可建立復合材料的有效模量與基體有效模量、玻璃微珠有效模量及其體積含量之間的微分關系，得到以下微分方程式[18]：

式中，K、μ分別為浮力材料的體積模量和剪切模量，K2,、μ2分別表示空心玻璃微珠的體積模量和剪切模量，F為玻璃微珠的體積分數。

固體浮力材料在靜水壓力作用下，可簡化成三相球模型的自洽模型，三相球模型如圖1 所示，微珠內部為氣相，微珠壁材部分為增強相和外側基體相。可得到玻璃微珠的等效體積模量[3]，以及空心玻璃微珠的等效剪切模量分別為

式中，Kg、μg分別表示玻璃微珠壁材的體積模量和剪切模量分別為空心玻璃微珠內外徑，內外徑之比η=ri/ro，如圖2所示。

圖1 三相球模型（自洽模型）[7]Fig.1 Three-phase spherical model(self-consistent model)[7]

圖2 浮力材料二維示意圖Fig.2 Two-dimensional schematic diagram of buoyancy materials

在求解浮力材料的有效體積模型和剪切模量后，可利用公式（5）的彈性常數間的相互關系，來確定浮力材料的有效彈性模量，以及彈性模量隨空心微珠體積分數的變化趨勢。

從公式（1）～（5）可發現浮力材料的等效彈性模量與微珠的體積模量和剪切模量成正相關，而微珠體積模量和剪切模量與微珠的內外徑之比有關。

以上方法是基于基體中加入的微珠外徑和壁厚都一樣。浮力材料通常由空心玻璃微珠、氣孔及基體三相組成，且制造過程中存在微珠破裂或者微珠與基體脫粘等缺陷。針對脫粘微珠和破裂微珠等缺陷部位可簡化成氣孔[19]。同一批次的玻璃微珠大小和壁厚通常存在不同。因此，計算浮力材料彈性模量時，應充分考慮氣孔、微珠壁厚等因素。為解決浮力材料有效彈性模量問題，可采用多次單相夾雜的思路。假設存在兩種壁厚空心玻璃微珠（即第一類壁厚微珠和第二類壁厚微珠），夾雜過程為：第一步將第一類微珠與基體組合，第二步以第一步組合成的浮力材料作為新的“基體”，將第二類HGM填充在新基體，第三步以第二步組合成的浮力材料再次作為“基體”將氣孔作為填充進行添加。

在基體中添加微量微珠或氣孔后，材料彈性模型的變化可通過微分形式表示，即dE與dφ關系式，考慮到微珠體積分數增大后，顆粒之間的相互作用就會變得不可忽略。經文獻[20-23]證明，將dφ用dφ（1-φ/φm）表示能較好地解決以上問題。多次夾雜可通過下列微分方程解釋：

式中，φ1、φ2、...φN為添加微珠的體積分數，φm為基體體積分數。通過上式理論上可求解浮力材料的彈性模量，但較難確定不同外徑和壁厚的微珠的比例，第一次組合后，添加氣孔公式預測較好[19]，但是對于后續多次添加不同壁厚、粒徑的微珠，結果有待驗證。從上式中可發現，微珠內外徑之比η是影響浮力材料彈性模量的主要因素，計算過程中針對微珠微觀結構可做一定等效簡化。假設所有微珠外徑一樣，此時不同微觀結構主要體現在微珠的壁厚（η不同）。此時在計算時可引入平均內外徑之比ηˉ，平均內外徑之比可通過微珠體積分數、微珠壁材密度和微珠質量求得。每一個微珠的內外徑之比與平均值差可采用Δηi表示，即

文獻[24]給出了基于平均壁厚和體積分數的二階微分修正參考，并與試驗結果相吻合。

由于微珠尺寸小，工程中想要準確知道浮力材料不同外徑和壁厚的微珠數量困難較大，可提出如下簡化過程：以生產批次微珠內外徑平均值為基準，第一次，基于平均差-- --Δηi，將微珠分為高于和低于平均值兩類，同時取各自類別中的平均值；第二次，以第一次的兩類微珠的新平均值為基準，再次將微珠分為新的高于和低于兩類。當Δηi為負數時，且數值越小，起到的增強效果越小，甚至對浮力材料彈性模量有減弱作用。

2 壓縮強度及破壞準則分析

2.1 壓縮強度經驗公式

Turcsanyi[25]對抗壓強度提出了一個半經驗的公式：

式中，A為常數，與填料形狀有關，對于球形微珠，A=2.5。

Nicolais和Narkis[26]，Ahmed和Jones[27]在考慮玻璃微珠的孔隙影響的基礎上提出：

式中，σcu為浮力材料極限強度應力，σmu為基體極限強度應力，Vs、Ve和Vg分別為玻璃微珠、基體和孔隙體積含量。

從以上公式可發現，針對強度的預測公式主要考慮基體極限強度應力與各相體積含量之間的關系，并沒有考慮浮力材料的微觀結構對壓縮強度和應力分布的影響。

2.2 破壞準則

通過閱讀已發表的文獻可發現，壓縮載荷作用下，浮力材料的破壞模式主要有：包括不同加載方向在內的平面分裂的脆性破壞[28-29]、準脆性剪切破壞[30-31]、垂直于加載方向發生的局部“弱層”破壞[32]、在均勻體積載荷或其他普遍壓縮的載荷條件下微球的大規模斷裂、沒有宏觀斷裂和大的非彈性變形[33]。

格里菲里提出理想晶體的理論斷裂強度公式為

式中，γ表示單位面積上的斷裂表面能，a為平衡晶格常數，σth為廣義破壞強度。通過上式說明材料的破壞強度與γ平方根成正比，如果為球形材料，受到剪切破壞時，可以得出：

微珠為中空球，可根據比面積

根據文獻[34]，

式中，K與材料的彈性模量（Em，Eg）、泊松比（μm，μg）、微珠中空度Vh和體積占比Vg等相關，k為比例常數，pth為破壞壓力。

從上面公式中可以看出，當微珠的體積分數和內外徑之比相同時，則K值一樣，破壞壓力與微珠半徑平方根成反比，隨著壓力增大半徑較大的微珠將先發生破壞。實際浮力材料中玻璃微珠的大小和壁厚不統一，k和K值通常是不一樣的，兩個變量的值對于材料的破壞起源預測增加了難度和不確定性，因此，計算過程中為減少變量，可以結合能量入手，考慮微珠的彈性應變能。

式中，σij，εij分別為空間應力和應變值，S為微珠表面積，V為微珠體積。

文獻[13]提出了破壞應力和破壞彈性應變能臨界值關系式，載荷作用下，應變能超過臨界時微珠將發生破壞，

公式（19）并未考慮微珠大小對破壞的影響，實際浮力材料中，存在不同大小的微珠，不同大小的微珠在浮力材料中各自占的體積分數也不同，令

若式（19）中p0為微珠的破壞壓力，則p0=pth，綜合公式（17）、（19）和（20），可得出U0與微珠外徑的關系：

微珠的大小對彈性應變能存在一定的影響，但不能簡單地認為是反比關系，彈性應變能需要綜合考慮微珠壁厚、體積分數和半徑的影響。

3 數值計算

材料在彈性變形階段，其應力和應變成正比例關系（即符合胡克定律），其比例系數稱為彈性模量。數值計算基于ANSYS 有限元分析軟件開展，施加位移載荷，位移大小為基體邊長1/100。通過軟件可提取載荷加載面的支反力，端面支反力之和除以表面積為端面的應力。

玻璃微珠/環氧樹脂固體浮力材料的微珠壁厚、微珠半徑、微珠體積分數對材料的力學行為有較大影響，研究固體浮力材料細觀結構在位移載荷作用下的楊氏模量、壓縮強度，對實際生產具有一定的指導意義。本文采用的基本假設是：微珠與樹脂基體完好粘結，即相當于剛性連接；微珠均勻分布于樹脂基體中；浮力材料中不存在雜質和氣泡；浮力材料力學性能均為各向同性。

3.1 有限元模型

（1）模型概述

基于上述假設，建立了浮力材料的體心立方單胞模型，單胞模型由兩個玻璃微珠和樹脂基體組成，基于對稱原理和減少運算量原則，將模型簡化為1/8單胞模型，如圖3（b）所示。

圖3 浮力材料單胞有限元模型Fig.3 Finite element model of buoyancy material

（2）網格劃分

模型單元選擇三維10 節點實體單元Solid187，材料參數如表1 所示，采用自由網格劃分，劃分網格后模型如圖4所示。

（3）邊界條件

分析彈性模量時的邊界條件：對A面施加固定約束，A1面為施加載荷面，施加位移載荷，B面、C面的法向位移為零[35]，如圖5所示。

分析壓縮強度時的邊界條件：A1面施加40 MPa載荷，A面、B面、C面施加位移約束，設置三個面的法向位移為零[36]。

圖4 網格劃分圖Fig.4 Meshing

表1 材料參數Tab.1 Material properties

圖5 分析彈性模量時約束情況Fig.5 Constraints when analyzing elastic modulus

3.2 計算工況

本文建立了三維單胞有限元模型，Hobaica 和Cook[37]的測試結果表明，當微珠體積占比超過67%時，由于浮力材料中氣泡和污染物的增加以及微珠與基體界面的完整性變差，浮力材料的吸水率顯著增加，一般認為67%為微珠體積占比的上限。基于微珠的體積分數設計的20類工況（表2），分別對微珠體積分數為10%、20%、30%、40%、50%和60%進行計算和分析，不同微珠內部結構模型的平面投影如圖6所示。

我們對不同微觀結構的浮力材料彈性模量和壓縮強度情況進行了分析，主要分析的工況如下：

（1）兩個微珠外徑、壁厚一致，改變微珠的體積分數，同時改變兩個微珠外徑，分析微珠體積分數、微珠大小與浮力材料的彈性模量的關系、基體和微珠應力分布情況；

（2）兩個微珠外徑一致，固定為20μm，改變微珠體積分數、微珠的壁厚，分析壁厚與材料的彈性模量的關系、微珠應力分布情況，驗證破壞準則；

（3）兩個微珠半徑不一致，體積分數相同和不同時，微珠壁厚不同，分析基體和微珠應力分布，以及加載方向對材料的內部應力的影響，驗證破壞準則。本文計算工況如表2所示。

表2 計算工況Tab.2 Calculation conditions

圖6 不同微觀結構模型示意圖Fig.6 Diagram of different microstructure models

4 結果與討論

4.1 試驗結果

選用Engineered Syntactic Systems（ESS）公司HZ-42 浮力材料，材料尺寸為610 mm×305 mm×100 mm，進行靜水壓試驗，按2～3 MPa/min的速度均勻加壓至試驗壓力值165 MPa，并保壓2小時。試驗后取材料部分區域放大250 倍SEM 圖如圖7 所示。圖7 中可發現破壞的微珠存在半徑較大又存在較小的微珠，說明微珠的破壞強度與微珠大小不是簡單的反比關系，微珠的破壞需要同時考慮微珠的壁厚和大小等因素；從圖中還發現微珠的破壞通常在赤道位置開始。

4.2 微珠大小和體積分數對浮力材料彈性模量的影響

根據胡克定律，單軸應力狀態下的應力應變關系如下：

式中，σ為應力，ε為應變，d為加載位移載荷，l為三維模型基體邊長，S為施加載荷面表面積。

環氧樹脂基體中加入的空心玻璃微珠組成浮力材料，當空心玻璃微珠有效彈性模量大于基體彈性模量時，微珠屬于材料的顆粒增強元素，此時加入越多，越有利于提高浮力材料的彈性模量，因此玻璃微珠的體積分數和壁厚對于浮力材料的彈性模量具有重要影響。我們設計了A1-A6 工況（詳見表2），對單胞模型進行有限元分析。發現浮力材料有效彈性模量與微珠體積分數成正相關，但是隨著內外徑之比的變大（即壁厚變薄），有效彈性模量的變化隨微珠體積分數的變化趨于平緩，如圖8 所示，壁厚越薄玻璃微珠的有效彈性模量越低，可以預測當玻璃微珠壁厚減小至某一值時，浮力材料的有效彈性模量將等于基體的彈性模量，規律與文獻[9]的一致；微珠壁厚繼續變薄，浮力材料的有效彈性模量將低于基體的彈性模量，此時，加入微珠將降低浮力材料的強度。

為研究微珠大小對浮力材料彈性模量的影響，我們設計了A7-A10工況（見表2）進行單胞模型有限元分析，發現當微珠體積分數一樣時，A7-A10 工況浮力材料的有效彈性模量值與A2 工況的一樣。說明，當浮力材料中添加微珠的體積分數一樣、內外徑之比一樣，且一種浮力材料中的微珠大小相同（不同種浮力材料中微珠彼此間大小不一樣）時，浮力材料的有效彈性模量值相同，此時，不同材料間的有效彈性模量與微珠外徑大小無關。

圖7 靜水壓力下微珠破壞250倍SEM圖Fig.7 Crack section of solid buoyancy material under hydrostatic pressure

圖8 不同體積分數材料的有效彈性模量Fig.8 Effective elastic modulus of materials with different volume fractions

圖9 理論與數值計算所得彈性模量隨體積分數變化Fig.9 Theoretical and numerical calculation of elastic modulus with different volume fractions

基于表2中A1工況和表1數據，利用式（3）、式（4）求得玻璃微珠的體積模量和剪切模量后并代入式（1）和式（2）求出浮力材料的K、μ，最后將K、μ代入式（5）可解出浮力材料的有效彈性模量，結果見表3，理論計算與數值計算結果隨體積分數變化情況如圖9 所示。從計算結果可發現：兩種情況算出的結果隨體積的變化都接近線性變化，且兩條線的斜率差值較小；數值計算值略大于理論計算值，差別在3%～6%區間內，由此可見，兩種方法用于計算浮力材料的有效彈性模量是合理的。

表3 有效彈性模量理論計算與數值計算比較Tab.3 Comparison between theoretical and numerical calculations of effective elastic modulus

當浮力材料中出現微珠破損、氣泡、脫粘等缺陷時，可以將缺陷簡化成氣孔，基于多次夾雜原理，通過式（6）和式（7）可計算材料的有效彈性模量。基于表2中A1部分工況，材料中存在缺陷時，不同缺陷體積分數的計算結果見表4。

表4 浮力材料存在缺陷后有效彈性模量理論計算與數值計算比較Tab.4 Comparison between theoretical and numerical calculations of effective elastic modulus for buoyancy material with defects

通過比較E3與E1差值比例，發現將缺陷簡化成氣孔后，由于氣孔的體積模量和剪切模量都為0，所以當缺陷所占體積分數一樣時，微珠的體積分數對于浮力材料的彈性模量下降水平影響很小。

通過對A2和A4工況進行分析，當浮力材料體積分數一樣時，浮力材料的有效彈性模量隨微珠厚度的增大而增大，與體積分數成正相關，浮力材料的有效彈性模量變化趨勢與微分法計算結果一致。在施加相同壓力載荷時，當較薄微珠遠離載荷加載面，最大應力值出現在較薄微珠上，且應力值要遠大于較薄微珠在載荷施加面時的；較薄微珠在載荷施加面時，最大應力隨著較薄微珠壁厚變薄，最大應力值變大。這說明隨著載荷的增加，較薄的微珠將先到達破壞應力的臨界值，即先破壞，驗證了2.2節中的破壞準則，與文獻[12]的結果一致。

4.3 兩個微珠內外徑之比一樣時，微珠大小對于浮力材料壓縮強度的影響

浮力材料中，不同粒徑玻璃微珠，不僅對于微珠和基體粘結性有影響，而且對浮力材料的應力分布情況也存在影響，在壓縮載荷下，微珠和基體的最大應力位置及趨勢將影響材料的破壞強度。本文設計B1-B10 計算工況，選取其中兩個內外徑之比一樣的微珠，包括：0.9、0.92、0.94、0.95 和0.96，分析加載方向和粒徑對浮力材料壓縮強度的影響，研究浮力材料的破壞。體積分數較大時，材料的破壞將以微珠破壞為主[28-33]，本文重點關注微珠的失效，以微珠的失效強度來反應浮力材料的強度，分析過程中微珠的應力值為微珠壁材的強度。

當微珠體積分數較大時，最大應力出現在內側微珠，且應力值明顯高于外側微珠，說明材料中存在不同大小的微珠時，最大應力與載荷的施加位置有關；隨著微珠內外徑之比變大，材料的最大應力值也變大，說明材料的強度與微珠壁厚有關。

外徑較小微珠在內側時，隨著兩個微珠外徑的接近，最大應力的值逐漸變大，兩個微珠大小一樣時，最大應力值最大。外徑較大微珠在內側時，此時最大應力值比外徑較小微珠在內側時的值大，兩個微珠外徑相同時，最大應力的值最小。

通過分析，最大應力位置通常出現在內側微珠（遠離加載面）的赤道，如圖10 所示的內側微珠外徑不同的應力云圖，說明微珠破壞從赤道位置開始破壞，與圖7中顯示的結果一樣。圖11顯示的是微珠體積分數為50%，外徑為15μm 和10μm 的兩個微珠在不同位置隨內外徑之比變化的最大應力值，從圖中可知較大微珠在內部時，最大應力值較大。因此，當微珠內外徑之比一樣時，相同載荷下，外徑較大的微珠先到達破壞臨界值，將先破壞，驗證了2.2 節中的破壞準則，即微珠內外徑之比一樣，微珠的破壞速度與微珠的外徑成反比。

圖10 浮力材料應力云圖Fig.10 Stress clouds of buoyancy material

圖11 微珠外徑不同時浮力材料最大應力值隨內外徑之比變化曲線Fig.11 Variation of maximum stress value of buoyancy materials with η at different outer diameters of HGMs

4.4 兩個微珠內外徑之比不一樣時，微珠大小對于浮力材料壓縮強度的影響

本文設計B1～B10 計算工況，選取微珠內外徑之比分別為0.9、0.92、0.94、0.95 和0.96，且模型中兩個微珠的內外徑之比彼此不一樣，對浮力材料的壓縮強度進行分析。

通過分析發現，當微珠體積分數較大時，最大應力出現在內側微珠赤道位置的內表面。

（1）外徑較小微珠在內側：當微珠體積分數較大時，最大應力出現在內側微珠赤道位置的內表面；當外側微珠內外徑之比不變時，隨著內側微珠壁厚變薄，微珠的最大應力值變大；當內側微珠壁厚不變，改變外側微珠壁厚時，最大應力值變化幅度很小。

（2）外徑大的微珠在內部：當微珠體積分數較大時，如一個微珠壁厚保持不變，則另一個微珠的最大應力值會隨著微珠壁厚的變薄而變大，內側微珠的最大應力值隨兩個微珠的大小之比（外側微珠外徑/內側微珠外徑）變小而變大。

通過分析，最大應力位置出現在內部微珠赤道位置，外側微珠壁厚不變而改變內側微珠壁厚（減小壁厚）時，比僅改變外側微珠壁厚（減小壁厚）時最大應力值更大；外徑較大微珠在內側最大應力值最大，說明微珠的破壞與外徑和施加方向相關，驗證了破壞準則。通過比較兩個不同大小微珠在內側時的最大應力可以發現，外徑小的微珠壁厚比較大微珠壁厚薄時，小微珠上的最大應力也會大于較大微珠的，如圖12 所示，外側微珠內外徑之比為0.9，內側微珠內外徑之比分別為0.9、0.92、0.94、0.95 和0.96，從圖中可看出小微珠在內側時且內外徑之比為0.95 時最大應力值大于大微珠在內側內外徑為0.92 時的值，如果材料中存在上述兩種微珠，在相同載荷下，小微珠將先發生破壞。與圖7中顯示的一致，說明壁厚和半徑對微珠的破壞都有影響。

圖12 內側微珠內外徑、壁厚不同時最大應力值Fig.12 Maximum stress values of inner HGM with different outer diameters and wall thicknesses

5 結 論

本文對壓縮載荷下不同微觀結構浮力材料力學特性進行了研究，給出了含不同規格微珠的浮力材料有效彈性模量微分計算公式，分析了微珠破壞準則，利用ANSYS 軟件構建的三維細觀單胞模型對浮力材料進行了力學性能有限元分析，通過實驗和有限元數值分析手段對破壞準則進行了驗證，得到如下結論：

（1）當浮力材料中所有玻璃微珠的外徑大小一樣、壁厚一樣時，浮力材料有效彈性模量僅與微珠體積分數有關，而與外徑大小無關；當內外徑之比小于某個值時，浮力材料的有效彈性模量與微珠體積分數成正相關，此時玻璃微珠對浮力材料的剛度起到增強作用，但當微珠內外徑之比較大時，浮力材料的有效彈性模量的變化會隨微珠體積分數的變化趨于平緩。

（2）微珠的破壞可以從彈性應變能角度分析，破壞強度與微珠的壁厚和大小都存在關系，微珠的破壞通常從赤道處開始。通過有限元分析，當微珠大小和體積分數不同時，最大應力通常出現在遠離加載面的微珠赤道位置，說明微珠的破壞與加載方向存在一定關系。

（3）當浮力材料中的微珠內外徑之比相同、微珠大小不同時，此時較大微珠將首先發生破壞，微珠的破壞速度與微珠的外徑成反比；浮力材料中的微珠外徑相同、內外徑之比不同時，較薄微珠將先發生破壞。

（4）微珠內外徑之比和微珠大小均不一樣時，微珠的壁厚和大小將對微珠的應力產生不同程度的影響，兩者的影響敏感度需要進一步研究。