基于變密度胞元的熱傳導結構層級拓撲優化*

王 欽, 劉利陽, 強 博, 魏衍強

(沈陽飛機設計研究所, 沈陽 110035)

0 引 言

低溫環境是確保電子設備、發動機、航天飛機和衛星等系統安全工作的必要條件之一．因此,結構散熱一直以來都是學者和工程師研究和設計的熱點[1]．其中,熱傳導系統具有加工簡單、不依賴其他電子系統、無噪聲等優點,在工業應用中最為廣泛．隨著設備精度的不斷提升,研究微型化、輕量化、高效化的散熱系統至關重要．

拓撲優化是一種新型的結構優化設計方法,其不依賴于工程經驗就能得到意想不到的創新構型,被廣泛應用于基于熱傳導、熱對流和共軛傳熱的熱系統優化[2-3]．然而,這些研究大多只是在宏觀尺度上進行結構優化,設計空間有限．在自然界中,植物莖和動物骨骼等生物結構多是由胞元結構組成,具有高剛度、耐腐蝕、多功能和輕量化等優越的性能[4]．受這一現象的啟發,結構的宏觀和微觀一體化拓撲優化設計受到了研究者們的關注．

多尺度拓撲優化設計可以追溯到Rodrigues等[5]提出的宏觀尺度材料分布和微結構設計協同優化的層級算法．Xia和Breitkopf[6-7]將非線性FE2框架應用于多尺度設計．然而,這些設計中每個單元的微結構都不同,計算成本高,且難以制造．為此,Liu和Cheng等[8-9]提出了一種并行拓撲優化方法來設計周期胞元結構,只需求解一個簡單的優化公式,大幅縮減了計算成本．Long等[10]將這種方法應用于考慮承載能力和保溫性能的結構輕量化設計．Yan和Huang等[11]解決了以宏觀結構剛度和材料導熱系數為目標函數的多目標多尺度結構優化問題．Yan等[12]證實,對于熱彈性問題,周期胞元結構比宏觀結構表現出更好的性能．但由于微觀結構相同,設計空間有限,只能獲得很小的性能改進．

變密度胞元結構[13]是另一種特殊類型的多尺度結構,其微結構具有相似的拓撲結構,僅一個或多個幾何參數在宏觀設計域內變化．通過優化這些幾何參數,可以將不同密度的微結構置于最佳宏觀位置．Wang等[14]通過優化不同六邊形單胞的厚度,使結構的散熱效率提高一倍．Cheng等[15-16]開發了一種網格密度填充和與設計相關的動態特征的并行優化方法．Wu等[17]開發了一種考慮尺度效應的帶懲罰的簡化子結構近似(ARSP)模型．然而,在這些工作中,微觀結構拓撲是規定的,而不是優化得到的．

在微觀結構拓撲與宏觀密度并行優化中,最困難的是如何提取一個參數來改變微結構的密度．特別是在拓撲優化框架中,用元素密度或水平集函數描述微觀結構拓撲,很難提取一個顯式的參數,如半徑或厚度．最近,基于水平集框架,Wang等[18-19]提出了一種在不同位置切割帶符號的距離函數的參數化方法．在此基礎上,Zong等[20]為保證相鄰單元之間完美的幾何連接,通過插值一組位于節點上的高度變量,構造了一個可變切割函數．而后,一種類似的形狀插值技術被提出來生成一系列基于參數水平集方法優化的微結構[21-22]．

本文提出了一種實現微觀結構拓撲與宏觀密度并行拓撲設計的有效方法．首先,在密度框架下優化具有不同體積分數的單一或有限種微結構;然后應用腐蝕-擴散算子構建準周期微結構庫;最后,解決宏觀熱柔順度最小問題,并將這些微結構置于宏觀設計域．

1 優 化 模 型

1.1 變密度胞元結構

圖1為典型的變密度胞元結構,其微結構密度ρ由內孔半徑R控制．由于微結構拓撲是預定的,性能改進有限．文獻中有很多性能優異的微結構拓撲優化構型[23-27],但其復雜的幾何結構導致很難提取一個顯式的幾何參數來改變密度．

圖1 變密度胞元結構及其幾何參數與密度的關系Fig. 1 Illustration of the variable density cellular structure

(1)

(2)

圖2 腐蝕-擴散算子Fig. 2 The process of the “erode” and “dilate” operators

1.2 優化流程

為了更清楚地說明本文提出的算法,本小節給出了熱對流問題微觀結構拓撲與宏觀密度分布并行拓撲設計的具體優化流程,如圖3所示．

圖3 提出算法的優化流程圖Fig. 3 The optimization flowchart of the proposed method

Step 1: 優化得到有限個體積分數不同的微結構;

Step 2: 基于腐蝕-擴散算子,建立準周期微結構庫;

Step 3: 利用漸近均勻化方法計算微結構等效材料屬性,及其B樣條代理模型;

Step 4: 優化宏觀單元的密度分布;

Step 5: 基于MMA 優化算法更新設計變量,完成結構優化并進行后處理及驗證．

2 問 題 描 述

本節針對熱傳導問題驗證本文算法的有效性,測試模型設計域為邊長L=1 m的正方形,均布熱載荷Q=1 W/m2．規定左側中部長度為L/10的邊界T=0 K,其他邊界對流系數為0(圖4)．

圖4 設計域及邊界條件Fig. 4 The design domain and boundary conditions

網格劃分規模為100×100．為提高結構熱導率,優化采用雙材料,其導熱系數分別為k1=1 W/(m2·K)和k2=0.001 W/(m2·K)．

在穩態熱傳導問題中,結構熱柔順度被廣泛用于性能評估．結構的熱柔順度值越小,說明結構的導熱性越好．因此,本文考慮了體積約束下結構熱柔順度最小的優化問題:

J=TTKT,

(3)

其中,K和T分別表示全局熱傳導矩陣和溫度向量,滿足方程KT=Q,Q為熱載荷向量．矩陣K可由下式計算得到:

(4)

其中,Ωe和Nma分別表示單元積分域和單元個數,B是單元應變矩陣,De是位于第e個宏觀單元的微結構的等效熱傳導系數矩陣．

本文基于漸近均勻化方法[29]計算微結構的等效矩陣:

(5)

其中,D(y)是微觀材料插值得到的熱傳導系數矩陣,y代表微觀積分域,εy(·)是應變算子,φ=[φ11,φ22,φ12] 代表求解施加周期性邊界條件的均勻化問題得到的三個特征位移場:

(6)

其中,Vy={uy(y)|y∈Y,uy(y+Y)=uy(y)}表示單元Y中定義的周期函數的函數空間,v表示虛位移場．

3 微觀尺度設計

3.1 微觀尺度優化模型

基于密度的拓撲優化方法,采用均勻化方法和MMA優化方法進行微觀結構設計:

(7)

(8)

(9)

其中

(10)

且

(11)

3.2 微結構拓撲優化結果

1) 策略1:不考慮微結構之間的連通性

對體積分數分別為0.2,0.4,0.6,0.8的優化公式(7)求解,可以得到如圖5所示的4種微觀結構．本文將這些微觀結構稱為“基礎微結構”．

圖5 基礎微結構(策略1)Fig. 5 The elementary microstructure for strategy 1

為保證經腐蝕和擴散后的微結構具有光滑邊界,對微結構進行網格細化,將每個微觀單元劃分為nc×nc的細網格,如圖6所示．本文選擇nc=3,將微結構的網格細化為240×240．

圖6 網格細化示意圖Fig. 6 Mesh refinement

利用腐蝕-擴散算子,可以得到一系列密度從0至1變化的微結構,參數設置如下:過濾半徑設為rmin=8.6,β值固定為128,微結構體積分數從0.05至1變化,間隔為0.05(共20步),從而得到4×20個微結構,并選擇若干體積分數均勻增大的微結構作為準周期微結構庫①,用于后續的計算和優化,如圖7所示．

圖7 準周期微結構庫①Fig. 7 The microstructural library ①

2) 策略2: 考慮微結構之間的連通性

由于策略1中不同體積分數的微結構拓撲是獨立計算的,微結構間的連通性較差．本文將體積分數較小的微結構作為不可設計域,依次優化獲取體積分數較大的微結構．首先,優化得到體積分數為0.2的微結構,并作為不可設計域優化體積分數為0.4的微結構,同理,優化得到體積分數為0.6和0.8的微結構．從而得到4個連通性較好的基礎微結構,如圖8所示．應用策略1中的腐蝕-擴散算子,得到準周期微結構庫②,如圖9所示．

圖8 基礎微結構(策略2)Fig. 8 The elementary microstructure for strategy 2

圖9 準周期微結構庫②Fig. 9 Microstructural library ②

4 宏觀尺度設計

4.1 等效材料屬性

基于漸進均勻化法計算兩組準周期微結構等效矩陣DH,

(12)

(a) 準周期微結構庫① (b) 準周期微結構庫②(a) Microstructural library ① (b) Microstructural library ②圖10 等效熱傳導系數曲線Fig. 10 Fitting curves of D11 and D22 with the variation of

4.2 宏觀結構優化結果

(13)

(14)

其中,下標e=1,2,…,Nma．迭代過程如圖11所示．準周期微結構庫①和準周期微結構庫②的優化結構熱柔順度分別為31.279 3和30.252 6．考慮連通性的結果值略小于不考慮連通性的結果值．

(a) 準周期微結構庫① (b) 準周期微結構庫②(a) Microstructural library ① (b) Microstructural library ②圖11 迭代過程Fig. 11 The iteration process of example 1

4.3 變密度胞元結構組裝

宏觀優化完成后,利用體積分數最接近的微結構對各個宏觀單元進行組裝,得到變密度胞元結構,如圖12所示．

(a) 準周期微結構庫① (b) 準周期微結構庫②(a) Microstructural library ①(b) Microstructural library ②圖12 優化結果Fig. 12 The optimized structures for different methods

5 比較與驗證

在本節中,引入了另外兩個方案驗證方法的有效性．方案一選擇體積分數0.2的微結構拓撲優化結果作為唯一的基礎微觀結構,方案二為單一宏觀尺度設計．為了消除均勻化帶來的誤差,驗證4種設計的性能,建立了4種設計的細網格模型,并計算了溫度場．

5.1 兩種對照方案

1) 單一基礎微結構

方案一 選擇體積分數為0.2的微結構作為單一基礎微結構,經腐蝕、擴散,得到一個微結構族．由于只有一個基礎微結構,需要大的過濾半徑來獲得具有大體積分數的微結構,產生高額計算成本．因此,我們調整了腐蝕-擴散策略:過濾半徑設置為8.5,η=0.8和η=0.2分別實現腐蝕和擴散過程,從而得到兩種微結構．對新的微結構繼續應用腐蝕-擴散,重復這個過程,建立準周期微結構庫③,如圖13所示．圖14為等效材料屬性擬合曲線,圖15為宏觀區域密度分布．優化后結構的熱柔順度為31.393 1．

圖13 準周期微結構庫③Fig. 13 Microstructural library ③

圖14 準周期微結構庫③的等效熱傳導系數曲線Fig. 14 Fitting curves of D11 and D22 with the variation of in library ③

圖15 準周期微結構庫③的優化結果Fig. 15 The optimized structures for library ③

2) 宏觀單尺度設計

方案二 給出了宏觀單尺度設計,以說明引入雙尺度設計對結構性能的提升．優化模型及參數與文獻[32]相同．拓撲優化結果如圖16所示,熱柔順度為48.162 9．

圖16 宏觀單尺度拓撲優化結果Fig. 16 The topology optimization result of the single macro-scale design

5.2 方案驗證

在拓撲優化過程中,采用漸近均勻化方法計算等效材料性質,并假定周期邊界,忽略非均勻性和非連通性．為了準確評定4種結果的散熱性能,采用8 000×8 000的精細網格離散優化結果．優化后結構的溫度場如圖17所示．計算溫度場的一系列參數,用于后續對比,如表1所示．

表1 不同策略優化結果的結構散熱性能

圖17 精細網格下的溫度場優化結果Fig. 17 Temperature fields of the 4 optimization results with the fine mesh

結果表明,變密度胞元結構比傳統的宏觀優化結構具有更好的熱性能．相比之下,其熱柔順度等參數明顯降低．在準周期微結構庫①中,由于在微結構優化時沒有加入不可設計域,導致一些微結構之間的連通性較弱,結構性能下降．準周期微結構庫③的構建只使用了體積分數為0.2的微結構,擴散得到體積分數較大的微結構與最佳微結構存在偏差,其散熱性能也降低了．此外,4種優化方案的最終結構體積分數分別為0.202 5,0.201 7,0.200 4和0.200 7．體積分數偏差小,在允許范圍內．因此,本文提出的變密度多尺度拓撲優化方法是合理的,優化后的結構散熱性能優異．

6 結 論

本文將變密度多尺度拓撲優化方法應用于散熱結構優化．基于腐蝕-擴散算子處理基礎微結構生成準周期微結構庫．采用漸進均勻化方法計算微結構的等效熱傳導系數,得到擬合曲線,用于宏觀優化,并組裝變密度胞元結構．此外,由于相鄰微結構共享相似的微結構拓撲,具有較好的連通性．數值算例表明,與傳統的宏觀尺度設計相比,變密度結構具有更好的散熱性能．