考慮撓曲電與溫度效應的Mindlin-Medick板理論及其應用*

魯 雙, 李東波, 陳晶博, 席 勃

(西安建筑科技大學 理學院, 西安 710055)

0 引 言

常見的力電耦合效應,如壓電效應、撓曲電效應、鐵電效應、電致伸縮效應等,廣泛存在于各類介電材料中．其中壓電效應是最常見的一種力電耦合效應,其在俘能器[1-4]、傳感器[5-6]、驅動器[7-8]等智能器件的設計中應用廣泛．然而,隨著納米技術的發展,壓電器件的材料制約了其進一步發展,主要表現在3個方面: 1)壓電效應只存在于非中心對稱晶體中; 2)隨著器件的小型化和智能化,壓電理論已經不能很好地解釋與材料或結構尺度相關的不尋常的力電耦合現象; 3)壓電器件要求其服役溫度低于材料的Curie溫度,進一步限制了壓電器件的使用環境．相比于壓電效應,撓曲電效應存在于所有的介電材料中[9],且隨著材料或結構的尺寸減小,撓曲電效應會變得更加顯著[10]．同時,由撓曲電材料制成的智能器件,其工作溫度不受Curie溫度影響．因此,撓曲電效應受到了研究人員的關注．

經典壓電學理論給出了極化與均勻應變的關系,而撓曲電效應則描述了極化與非均勻應變如應變梯度之間的耦合關系[11]．1968年,Mindlin首次提出極化梯度的概念[12],成功將力電耦合效應從壓電材料拓展到撓曲電材料．在Mindlin理論的基礎上,Majdoub等[10,13]考慮了納米懸臂梁對應變梯度的響應,發現撓曲電效應可以顯著增強納米結構中的俘能效率,并對納米結構中的壓電和彈性行為產生影響．Hu和Shen[14-16]提出了一種連續介質力學力電耦合理論框架,更全面地考慮了納米電介質的撓曲電效應、表面效應和靜電力,給出了詳細的控制方程和邊界條件,為撓曲電效應的研究提供了理論基礎．關于撓曲電效應較新的綜述研究可參考文獻[11],其提供了更多與撓曲電效應相關的參考文獻．

對撓曲電器件變形和電場行為的調控包括接觸式和非接觸式,其中機械調控[9,17-18]屬于接觸式調控,磁場[19-21]和溫度場[22-26]等調控屬于非接觸式調控．機械調控利用施加于器件上的機械力產生應變梯度,從而產生電極化;而溫度場調控則是利用熱彈性效應產生應變梯度,進而產生電極化．溫度效應廣泛存在于撓曲電器件中,并通過熱彈性效應影響其性能．Hadjesfandiari[23]通過引入高階應變梯度,建立了非均質各向異性固體中尺寸相關的熱彈性方程．Samani等[24]利用撓曲電效應和納米梁尺寸效應的非經典理論,研究了撓曲電Timoshenko梁在熱場和機械場作用下的屈曲行為．Chu等[25]綜合考慮非局域效應和應變梯度效應,分析了功能梯度撓曲電納米梁在溫度場作用下的熱致非線性動力學問題．前人研究的主要是一維問題,目前關于溫度效應的撓曲電二維問題的成果相對較少．

近來,隨著微納米尺度二維材料的快速發展,撓曲電納米板的器件應用也越來越廣泛,例如撓曲電傳感器、致動器等．本文基于撓曲電理論[27-28]和溫度效應建立了Mindlin-Medick板的理論模型,綜合考慮厚度伸縮變形、面內拉伸變形和對稱厚度剪切變形及其耦合的撓曲電極化,分別研究了溫度調控和機械調控下撓曲電納米板的力電耦合行為,以期為撓曲電器件的設計提供參考．

1 撓曲電納米板的數學框架

1.1 撓曲電納米板的幾何方程

考慮如圖1所示的撓曲電納米板,直角坐標系建立在板的中面上．根據Mindlin-Medick假設,將撓曲電納米板的位移場ui(x,t)、電勢場φ(x,t)和溫差場θ(x,t)展開成關于厚度坐標x3的冪級數:

(1)

應變張量Sij與位移ui、應變梯度ηijk與應變Sij以及電場Ei與電勢φ之間滿足如下梯度關系[30]:

Sij=0.5(ui,j+uj,i),ηijk=Sij,k,Ei=-φ,i．

(2)

將式(1)代入式(2),得到相應的應變分量Sij、應變梯度分量ηijk和電場分量Ei的非零項分別為

(3)

(4)

(5)

1.2 撓曲電納米板的Hamilton變分原理

撓曲電納米板的應變能U、外體力fi所做的虛功δW和動能K分別為[31]

(6)

(7)

(8)

式中,Tij為應力張量,τijk為高階應力張量,Di為電位移,Ω為撓曲電納米板所占據的體積,dV為體積微元．

對于撓曲電納米板,其Hamilton變分原理可表述為[32]

(9)

將式(1)、(3)—(5)代入式(6)—(8),再代入到變分表達式(9),應用變分法基本原理[33]和分部積分,得到撓曲電納米板的場方程以及板邊界Γ上的線積分等式分別為

(10a)

(10b)

(10c)

(10d)

(10e)

(10f)

(10g)

(10h)

和

(11)

式中,Γ表示圍成板中面的邊緣曲線,ds表示邊緣曲線Γ上的線微元,變量上的點表示對時間的導數．其中n階應力、n階電位移、n階高階應力、n階外力和n階質量密度的定義為

(12)

1.3 撓曲電納米矩形板的完整邊界條件

撓曲電納米板的完整邊界條件可由板邊界上的線積分等式(11)得到,注意到式(11)的變分項δ(·)中,在邊界上關于位移或者電勢的切向導數不與其法向導數獨立,因此需要進一步處理變分項δ(·)中包含切向導數的項．對于圖2所示的撓曲電納米矩形板,將邊界上外法線的方向余弦n1,n2代入式(11),根據變分法基本原理,得到相應的邊界條件如下．

對于邊界x2=0,b,其中n1=0,n2=-1(x2=0)或n2=1(x2=b):

(13)

對于邊界x1=0,a,其中n2=0,n1=-1(x1=0)或n1=1(x1=a):

(14)

1.4 撓曲電納米板的二維本構方程

取撓曲電納米板的材料為立方晶系(m3m點群),且不考慮非局部剛度常數gijklmn和熱釋電系數pi,撓曲電納米板的本構關系為[16]

Tij=cijklSkl-λijθ,τijk=-flijkEl,Di=εijEj+fijklηjkl,

(15)

式中,cijkl為彈性常數,λij為熱彈性常數,fijkl為撓曲電系數,εij為介電常數．

在1.2小節中所得二維二階板方程的表達式(10),由于忽略了位移展開式中的高階項,必然會引起截斷誤差,為此,這里引入修正系數對截斷誤差進行修正[26]．即在應力本構式(15)的第1式中,通過應力釋放進行修正,將S13,S23和S33分別替換為k1S13,k2S23和k3S33,其中k1,k2和k3為修正系數[26],且

(16)

(17)

零階、一階及二階的電位移本構方程為

(18a)

(18b)

(18c)

(18d)

(18e)

(18f)

零階、一階及二階的高階應力本構方程為

(19)

式(17)—(19)中高階材料參數的定義為

i,j=1,2,3;p,q=1,2,…,6．

(20)

1.5 撓曲電納米板二階理論的控制方程

(21a)

(21b)

(21c)

(21d)

(21e)

(21f)

(21g)

(21h)

由式(21g)可知,一階電勢φ(1)與位移場u、電勢場φ(0)和φ(2)及溫差場θ(0)和θ(2)解耦,故之后的討論不再考慮一階電勢φ(1)．

2 算 例 分 析

(22)

對于給定的邊x2=0,b,相應的邊界條件為

(23)

(24)

(25)

[cosξm(x0-c)-cosξm(x0+c)][cosζn(y0-d)-cosζn(y0+d)]．

(26)

(27)

式中,系數矩陣Kij為

(28)

(a) 比較θ(0)和對面內拉伸變形的影響(b) 比較θ(0)和對對稱厚度剪切變形的影響(a) Comparison of the effects of θ(0) and on in-plane (b) Comparison of the effects of θ(0) and on symmetric extensional deformation

圖5 θ(0)和對厚度伸縮變形的協同影響Fig. 5 Synergistic effects of θ(0) and

3 結 論

本文采用Mindlin-Medick理論和撓曲電理論,建立了撓曲電納米板的理論模型．利用Hamilton原理求出納米板的場方程和邊界上的線積分等式,分別將二維本構方程和中面邊界上外法線的方向余弦代入,得到了以基本未知量表示的撓曲電納米板的控制方程和邊界條件．然后利用雙重Fourier級數解求解納米板的位移場和電勢場,分析局部熱場和局部機械場對撓曲電納米板變形和電場的影響,得到了以下結論:

1) 撓曲電納米板上作用有局部溫度載荷時,由于熱脹冷縮效應,對稱厚度剪切變形會加劇面內拉伸變形的程度,u1在板中面處取最小值,且沿板的厚度方向變形程度逐漸增大,最終在板的局部加載區域的上下表面處取得最大值．施加機械載荷時撓曲電納米板表現出明顯的Poisson效應,對稱厚度剪切變形則會抵消一部分面內拉伸變形的效果．

2) 非接觸式調控和接觸式調控這兩種方式為撓曲電納米板的力電耦合行為研究提供了更多元的選擇．對于考慮撓曲電效應的微納米器件,接觸式調控操作難度較大;而非接觸式調控,如溫度調控和磁場調控等,可操作性更強,具有很大的發展潛力．