關于函數解析式構建考查的探究

趙衛東

【摘要】函數解析式問題的構建考查方式較多，相交構建、平移變換、對稱變換是其中較為特殊的三種.探究構建方式，總結知識規律是教學的重點.本文以拋物線問題為例，結合實例具體探究.

【關鍵詞】函數解析式;初中數學;解題

求函數解析是初中數學的基本問題，也是需要重點掌握的知識.函數解析式問題的考查方式較多，實際考查時常從綜合視角進行命題構建，涉及眾多的知識考點.下面以拋物線為例，探究其中較為特殊的三種方式.

構建考查一 相交構建

相交構建考查，即設定直線、曲線、坐標軸之間的交點，探究函數圖象的解析式.三者之間可以形成多種相交形式，解析時可先確定其交點，再采用待定系數法來推導.

例1 已知拋物線過A（1，0）和B（4，0）兩點，與坐標y軸交于點C，且滿足BC=5，則該二次函數的解析式為.

思路分析 題干給出拋物線過點A和B的坐標，并設定與y軸的交點C，滿足BC=5，求其解析式需要求出點C的坐標.解析時需要求出點C的坐標，關注兩點：一是點A和B均位于坐標軸y軸上；二是點C相對于x軸的位置未知，需要分類討論，有兩種情形.

過程解析 已知拋物線過A（1，0）和B（4，0），則可設拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-4）.拋物線交y軸于點C，且BC=5，則點C可位于x軸上方，也可位于其下方.

情形1 當點C可位于x軸的上方時，其坐標為（0，3），

可求得此時拋物線的解析式為

情形2 當點C可位于x軸的下方時，其坐標為（0，-3），

可求得此時拋物線的解析式為

綜上可知，二次函數的解析式為

評析 上述拋物線解析式問題中，構建了圖象與坐標軸相交情形，屬于相交構建考查.問題解析需要利用線段條件求交點坐標，再利用待定系數法求函數解析式.探究學習時應關注拋物線與x軸相交于點x1，0，x2，0情形時其解析式的設法，可將其直接設為y=ax－x1x－x2.

構建考查二 平移變換

通過平移變換構建來考查二次函數解析式，其知識重點是二次函數的平移規律，包括兩點：一是坐標系中二次函數解析式與平移之間的關聯；二是函數圖象平移的“不變”規律，即圖象形狀、大小和開口方向不變，a的值不變.

例2 如圖1所示，已知拋物線y=x2+2x-3與x軸正半軸交于A點，M（-2，m）在拋物線上，AM交y軸于D點，拋物線沿射線AD方向平移2個單位，則平移后的解析式為.

思路分析 本題目是關于拋物線平移交換的解析式推導問題，解析突破需分兩步進行：第一步，推導頂點P的坐標；第二步，分析平移過程，確定平移后點P的坐標，求解析式.

過程解析 ?令y=0，則x2+2x-3=0，解得

x1=-3，x2=1，

可得A點坐標為（1，0）.

將x=-2代入y=x2+2x-3中，

可得y=-3，則M點坐標為（-2，-3）.

y=x2+2x-3=（x+1）2-4，則P點坐標為（-1，-4）.

作MH⊥x軸于H，由于AH=1-（-2）=3，MH=3，

可推知△AMH為等腰直角三角形，

則∠OAD=45°，

進而可得△AOD為等腰直角三角形，

所以OA=OD=1，可求得D（0，-1），

點P（-1，-4）先向左平移1個單位，再向下平移1個單位得到的點的坐標為（-2，-5），所以平移后的拋物線解析式為y=x2+4x-1.

評析 上述拋物線解析式問題中，以平移交換為背景考查解析式的平移及平移特性.問題解析要以頂點P的平移轉換為切入點，把握平移過程，總結平移規律.對于拋物線的平移問題，可將其解析式轉化為頂點式，利用平移與解析式關聯可直接推導解析式.

構建考查三 對稱變換

對稱變換構建考查函數解析式，其核心知識是對稱轉換的性質規律.對于拋物線，對稱變換過程中其形狀不會發生變換，則a保持不變.求對稱變換后的拋物線函數解析式，可從其頂點坐標及開口方向入手，逐步推導.

思路分析 可先求出點P的坐標，再解方程，求出點B的坐標，然后根據中心對稱求出點M的坐標.最后根據對稱性，利用頂點式形式寫出C3的解析式即可.

過程解析 由拋物線解析式可知頂點P的坐標為（-2，-5），利用交點法可求得點B的坐標為（1，0）.

由于點P、M關于點B對稱，所以點M的坐標為（4，5）.

已知拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，拋物線C2向右平移得到C3，

所以可求得拋物線C3的解析式為

結語

總之，上述結合實例探究了拋物線求解析式的三種特殊方式，其中相交構建主要考查直線與曲線位置關系及交點法，平移變換、對稱變換則主要考查圖象運動規律.探究解析時，要把握三種問題的構建形式，總結知識規律，構建解題思路，形成解題策略.