有關奇虧完全數的若干結論

張四保, 姜蓮霞

(1.喀什大學數學與統計學院, 新疆 喀什 844000; 2.現代數學及其應用研究中心, 新疆 喀什 844000)

數論函數是數論中的一個重要內容,它是研究數論問題的一個重要工具.在數論中有著很多的函數,σ(n)就是其中的一個.對于正整數n,數論函數σ(n)定義為n的所有正因數(包括1與其本身)的和函數.由σ(n)產生了很多的數論問題,如完全數、親和數、孤立數、虧完全數等．

若正整數n滿足σ(n)=2n,則稱n為完全數.到目前為止只找到51個偶完全數,而未找到奇完全數,奇完全數的存在性已成為數論中的難題之一[1].在奇完全數問題上,有著十分豐富的研究成果[2-3].對于正整數n,若存在正整數m適合σ(n)=σ(m)=n+m,則數對(n,m)被稱為親和數;反之,n被稱為孤立數.親和數和孤立數一直是數論中一個引人關注的課題[4],有不少的研究成果[5-6]．

若正整數n滿足σ(n)=2n-d,則稱n為虧度為d的虧完全數,其中d為n的正因數.特別的,d=1時,稱n為殆完全數.虧度為d的虧完全數備受研究者關注,與此相關還有很多未解決的問題[7].文獻[8]刻畫了素因數個數不超過2的所有虧完全數的結構.文獻[7]和[9]討論了素因數個數為3的奇虧完全數的存在性問題,得到不存在素因數個數為3的奇虧完全數的結論.文獻[10-11]討論了素因數個數為4的奇虧完全數的存在性問題,給出了虧完全數的一些性質刻畫.文獻[12]討論了素因數個數為5的奇虧完全數的存在性問題,給出了虧完全數的一些性質刻畫.本文在相關研究文獻的基礎之上,討論素因數個數為6的奇虧完全數的存在性問題,并給出奇素因數個數為6的奇虧完全數的一些性質刻畫．

說明:本文所討論的奇虧完全數不包括殆完全數;下文符號“|”均表示整除關系．

1 基本引理

2 結論及證明

(1)

定理2設n=3γ137γ2q3γ3q4γ4q5γ5q6γ6,其中γi滿足γi≡0(mod 2),i=1,2,…,6,37

1)當q3=41,q4=43時,n不是奇虧完全數;

2)當q3=41,q4=47,q5=53,q6∈{59,61,67,71,73}時,n不是奇虧完全數;

3)當q3=41,q4=47,q5=59時,n不是奇虧完全數;

4)當q3=43時,n不是奇虧完全數．

證明若q3≥47,則

得出矛盾,于是q3∈{41,43}．

為了便于敘述,下文設d=3γ′137γ′2q3γ′3q4γ′4q5γ′5q6γ′6為n的素因數,其中0≤γ′i≤γi,且γ′i中至少有一數不等于0,i=1,2,…,6.同時,令

F(γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6)=

由式(1)可得,F(γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6)=G(γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6).

(2)

情況1當q3=41時,有n=3γ137γ241γ3q4γ4q5γ5q6γ6.此時,若q4≥53,則有

得出矛盾,于是q4∈{43,47}．

情況1.1當q4=43時,有n=3γ137γ241γ343γ4q5γ5q6γ6.此時,若q5≥67,則有

得出矛盾,于是q5∈{47,53,59,61}．

情況1.1.1當q5=47時,有n=3γ137γ241γ343γ447γ5q6γ6.此時,若q6≥127,則有

得出矛盾,于是q6∈{53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113}．

若d≥9,此時0≤γ′i≤γi,i=1,2,…,6,則有

得出矛盾．

若d=3,此時γ1-γ′1=1,γi=γ′i=0,i=2,3,4,5,6,則由σ(n)=2n-d可得

σ(3γ137γ241γ343γ447γ5q6γ6)=

5×3γ1-137γ241γ343γ447γ5q6γ6.

(3)

當γ1=2時,有σ(32)=13|σ(3237γ241γ343γ447γ5q6γ6).由式(3)可得13|5×3γ1-137γ241γ343γ447γ5q6γ6,這是不可能的．

當γ1=4時,有σ(34)=112|σ(3437γ241γ343γ447γ5q6γ6).由式(3)可得112|5×3γ1-137γ241γ343γ447γ5q6γ6,這是不可能的．

當γ1≥6,q6=53時,有

F(γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6)≥

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=59時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=61時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=67時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=71時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=73時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=79時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=83時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=89時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=97時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=101時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=103時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=107時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=109時,有

顯然,此時F1與G1的值與式(3)相矛盾．

當γ1≥6,q6=113時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

綜合情況1.1.1的討論可知,當q5=47時,n=3γ137γ241γ343γ447γ5q6γ6不是奇虧完全數．

情況1.1.2當q5=53時,有n=3γ137γ241γ343γ453γ5q6γ6.此時,若q6≥97,則有

得出矛盾,于是q6∈{59,61,67,71,73,79,83,89}．

若d≥9,此時0≤γ′i≤γi,i=1,2,…,6,則有

得出矛盾．

若d=3,此時γ1-γ′1=1,γi=γ′i=0,i=2,3,4,5,6,則由σ(n)=2n-d可得

σ(3γ137γ241γ343γ453γ5q6γ6)=

5×3γ1-137γ241γ343γ453γ5q6γ6.

(4)

當γ1=2時,有σ(32)=13|σ(3237γ241γ343γ453γ5q6γ6).由式(4)可得13|5×3γ1-137γ241γ343γ453γ5q6γ6,這是不可能的．

當γ1=4時,有σ(34)=112|σ(3437γ241γ343γ453γ5q6γ6).由式(4)可得112|5×3γ1-137γ241γ343γ453γ5q6γ6,這是不可能的．

當γ1≥6,q6=59時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=61時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=67時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=71時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=73時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=79時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=83時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=89時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

綜合情況1.1.2的討論可知,當q5=53時,n=3γ137γ241γ343γ453γ5q6γ6不是奇虧完全數．

情況1.1.3當q5=59時,有n=3γ137γ241γ343γ459γ5q6γ6.此時,若q6≥83,則有

得出矛盾,于是q6∈{61,67,71,73,79}．

若d≥9,此時0≤γ′i≤γi,i=1,2,…,6,則有

得出矛盾．

若d=3,此時γ1-γ′1=1,γi=γ′i=0,i=2,3,4,5,6,則由σ(n)=2n-d可得

σ(3γ137γ241γ343γ459γ5q6γ6)=

5×3γ1-137γ241γ343γ459γ5q6γ6.

(5)

當γ1=2時,有σ(32)=13|σ(3237γ241γ343γ459γ5q6γ6).由式(5)可得13|5×3γ1-137γ241γ343γ459γ5q6γ6,這是不可能的．

當γ1=4時,有σ(34)=112|σ(3437γ241γ343γ459γ5q6γ6).由式(5)可得112|5×3γ1-137γ241γ343γ459γ5q6γ6,這是不可能的．

當γ1≥6,q6=61時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=67時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=71時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=73時,有

F(γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6)≥

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1=6時,有σ(36)=1093|σ(3637γ241γ343γ459γ5q6γ6).由式(5)可得1093|5×3γ1-137γ241γ343γ459γ5q6γ6,這是不可能的．

當γ1=8時,有σ(38)=(13×757)|σ(3837γ241γ343γ459γ5q6γ6).由式(5)可得13×757|5×3γ1-137γ241γ343γ459γ5q6γ6,這是不可能的．

當γ1≥10,q6=79時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

綜合情況1.1.3的討論可知,當q5=59時,n=3γ137γ241γ343γ459γ5q6γ6不是奇虧完全數．

情況1.1.4當q5=61時,有n=3γ137γ241γ343γ461γ5q6γ6.此時,若q6≥79,則有

得出矛盾,則q6∈{67,71,73}．

若d≥9,此時0≤γ′i≤γi,i=1,2,…,6,則有

得出矛盾．

若d=3,此時γ1-γ′1=1,γi=γ′i=0,i=2,3,4,5,6,則由σ(n)=2n-d可得

σ(3γ137γ241γ343γ461γ5q6γ6)=

5×3γ1-137γ241γ343γ461γ5q6γ6.

(6)

當γ1=2時,有σ(32)=13|σ(3237γ241γ343γ461γ5q6γ6).由式(6)可得13|5×3γ1-137γ241γ343γ461γ5q6γ6,這是不可能的．

當γ1=4時,有σ(34)=112|σ(3437γ241γ343γ461γ5q6γ6).由式(6)可得112|5×3γ1-137γ241γ343γ461γ5q6γ6,這是不可能的．

當γ1≥6,q6=67時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=71時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=73時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

綜合情況1.1.4的討論可知,當q5=61時,n=3γ137γ241γ343γ461γ5q6γ6不是奇虧完全數．

綜合情況1.1.1至情況1.1.4的討論可知,當q4=43時,n=3γ137γ241γ343γ4q5γ5q6γ6不是奇虧完全數．

情況1.2當q4=47時,有n=3γ137γ241γ347γ4q5γ5q6γ6.此時,若q5≥61,則有

得出矛盾,于是q5∈{53,59}．

情況1.2.1當q5=53時,有n=3γ137γ241γ347γ453γ5q6γ6.此時,若q6≥83,則有

得出矛盾,于是q6∈{59,61,67,71,73,79}．

若d≥9,此時0≤γ′i≤γi,i=1,2,…,6,則有

得出矛盾．

若d=3,此時γ1-γ′1=1,γi=γ′i=0,i=2,3,4,5,6,則由σ(n)=2n-d可得

σ(3γ137γ241γ347γ453γ5q6γ6)=

5×3γ1-137γ241γ347γ453γ5q6γ6.

(7)

當γ1=2時,有σ(32)=13|σ(3237γ241γ347γ453γ5q6γ6).由式(7)可得13|5×3γ1-137γ241γ347γ453γ5q6γ6,這是不可能的．

當γ1=4時,有σ(34)=112|σ(3437γ241γ347γ453γ5q6γ6).由式(7)可得112|5×3γ1-137γ241γ347γ453γ5q6γ6,這是不可能的．

當γ1≥6,q6=59時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=61時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=67時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=71時,有

F(γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6)≥

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=73時,有

F(γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6)≥

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

綜合情況1.2.1的討論可知,對于奇數n=3γ137γ241γ347γ453γ5q6γ6,當q6∈{59,61,67,71,73}時,n不是奇虧完全數．

情況1.2.2當q5=59時,有n=3γ137γ241γ347γ459γ5q6γ6.此時,若q6≥71,則有

得出矛盾,于是q6∈{61,67}．

若d≥9,此時0≤γ′i≤γi,i=1,2,…,6,則有

得出矛盾．

若d=3,此時γ1-γ′1=1,γi=γ′i=0,i=2,3,4,5,6,則由σ(n)=2n-d可得

σ(3γ137γ241γ347γ453γ5q6γ6)=

5×3γ1-137γ241γ347γ459γ5q6γ6.

(8)

當γ1=2時,有σ(32)=13|σ(3237γ241γ347γ459γ5q6γ6).由式(8)可得13|5×3γ1-137γ241γ347γ459γ5q6γ6,這是不可能的．

當γ1=4時,有σ(34)=112|σ(3437γ241γ347γ459γ5q6γ6).由式(8)可得112|5×3γ1-137γ241γ347γ459γ5q6γ6,這是不可能的．

當γ1≥6,q6=61時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1=6時,有σ(36)=1093|σ(3437γ241γ347γ459γ5q6γ6).由式(8)可得1093|5×3γ1-137γ241γ347γ459γ5q6γ6,這是不可能的．

當γ1≥8,q6=67時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

綜合情況1.2.2的討論可知,當q5=59時,n=3γ137γ241γ347γ459γ5q6γ6不是奇虧完全數．

情況2當q3=43時,有n=3γ137γ243γ3q4γ4q5γ5q6γ6.此時,若q4≥53,則有

得出矛盾,于是q4=47,則n=3γ137γ243γ347γ4q5γ5q6γ6.此時,若q5≥61,則有

得出矛盾,于是q5∈{53,59}．

情況2.1當q5=53時,有n=3γ137γ243γ347γ453γ5q6γ6.此時,若q6≥73,則有

得出矛盾,于是q6∈{59,61,67,71}．

若d≥9,此時0≤γ′i≤γi,i=1,2,…,6,則有

得出矛盾．

若d=3,此時γ1-γ′1=1,γi=γ′i=0,i=2,3,4,5,6,則由σ(n)=2n-d可得

σ(3γ137γ243γ347γ453γ5q6γ6)=

5×3γ1-137γ243γ347γ453γ5q6γ6.

(9)

當γ1=2時,有σ(32)=13|σ(3237γ243γ347γ453γ5q6γ6).由式(9)可得13|5×3γ1-137γ243γ347γ453γ5q6γ6,這是不可能的．

當γ1=4時,有σ(34)=112|σ(3437γ243γ347γ453γ5q6γ6).由式(9)可得112|5×3γ1-137γ243γ347γ453γ5q6γ6,這是不可能的．

當γ1≥6,q6=59時,有

F(γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6)=

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=61時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1≥6,q6=67時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

當γ1=6,q6=71時,有σ(36)=1093|σ(3637γ243γ347γ453γ571γ6).由式(9)可得1093|5×3γ1-137γ243γ347γ453γ571γ6,這是不可能的．

當γ1≥8,q6=71時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

綜合情況2.1的討論可知,當q5=53時,n=3γ137γ243γ347γ453γ5q6γ6不是奇虧完全數．

情況2.2當q5=59時,有n=3γ137γ243γ347γ459γ5q6γ6.此時,若q6≥67,則有

得出矛盾,于是q6=61．

若d≥9,此時0≤γ′i≤γi,i=1,2,…,6,則有

得出矛盾．

若d=3,此時γ1-γ′1=1,γi=γ′i=0,i=2,3,4,5,6,則由σ(n)=2n-d可得

σ(3γ137γ243γ347γ459γ561γ6)=

5×3γ1-137γ243γ347γ459γ561γ6.

(10)

當γ1=2時,有σ(32)=13|σ(3237γ243γ347γ459γ561γ6).由式(10)可得13|5×3γ1-137γ243γ347γ459γ561γ6,這是不可能的．

當γ1=4時,有σ(34)=112|σ(3437γ243γ347γ459γ561γ6).由式(10)可得112|5×3γ1-137γ243γ347γ459γ561γ6,這是不可能的．

當γ1≥6時,有

顯然,此時F與G的值與式(2)相矛盾．

綜合情況2.2的討論可知,當q5=59時,n=3γ137γ243γ347γ459γ5q6γ6不是奇虧完全數．

綜合情況2.1與情況2.2的討論可知,當q3=43時,n=3γ137γ243γ3q4γ4q5γ5q6γ6不是奇虧完全數．

綜合情況1與情況2的討論,可得定理2.證畢．