具p-Laplacian算子的半正分數階脈沖微分方程三點邊值問題解的存在性與唯一性

盛世昌, 張婷婷, 胡衛敏,2*

(1.伊犁師范大學數學與統計學院, 新疆 伊寧835000;2.伊犁師范大學應用數學研究所, 新疆 伊寧 835000)

整數階的微分方程有關于p-Laplacian算子和脈沖邊值條件的文獻[1-4],分數階微分方程中關于帶p-Laplacian算子的方程研究已取得不少成果[5-10],關于帶脈沖邊值條件的問題研究文獻也逐漸增加[11-20],而分數階微分方程中兩個條件同時具備的相關研究文獻較少. 在一些復雜力學過程中,其經驗公式一般表現為冪律函數的形式,這種力學過程具有記憶、遺傳和路徑依賴等性質. 整數階導數在解決復雜力學問題時,需要構造非線性方程,引進復雜的假設條件,這就造成了這些模型在求解時的困難.分數階微分算子相比之下,能簡潔且準確地刻畫具有記憶性和空間全域相關性的物理力學過程.本文參考整數階微分方程的相關研究文獻,討論了一個具p-Laplacian算子的半正分數階微分方程三點脈沖邊值問題解的存在性,利用Banach和Schauder不動點定理,獲得了解的存在性的充分條件．

文獻[8]討論了具p-Laplacian算子非線性分數階微分方程的邊值問題

(1)

文獻[10]分析了具p-Laplacian算子的分數階微分方程三點邊值問題

(2)

文獻[11]研究了非線性分數階脈沖微分方程三點邊值問題

(3)

的不動點,用Banach不動點定理證明了方程解的存在性和唯一性,其中,1<α≤2,f∈C(J×,),為Caputo分數階導數．

本文討論下列具p-Laplacian算子的半正分數階微分方程三點脈沖邊值問題

(4)

1 預備知識

設J0=[0,t1],J1=(t1,t2],…,Jm-1=(tm-1,tm],Jm=(tm,1],空間PC(J,)存在,定義范數(J,)={u：J→|u∈C1(Jk),k=0,1,…,m},且存在,定義范數(J,),PC1(J,)是Banach空間．

定義1[11]函數f：[0,+∞)→,α階Riemann-Liouville分數階積分是指

其中,右邊是在[0,+∞)逐點定義的．

定義2[11]函數f：[0,+∞)→,α>0,α階Caputo型分數階微分是指

f(t)=c0+c1t+c2t2+…+cn-1tn-1,ci∈,i=0,1,2,…,n-1,n=[α]+1．

引理4[14](Arzela-Ascoli定理)K?PC(J,)是相對緊的,當且僅當函數u(t)∈K在J上一致有界,在Jk上等度連續．

引理5[14](Schauder不動點定理)設X是Banach空間,D?X是有界凸閉的(D不一定存在內點),T：D→D是全連續的,則T在D中存在不動點,即存在x*∈D,使得Tx*=x*．

引理6設y∈C(0,1),且ξ∈(tl,tl+1),l為非負整數,0≤l≤m.u∈PC1(J)是邊值問題

(5)

的解等價于u是如下積分方程的解,

(6)

其中,

證明設u是方程(5)的解,對方程(5)兩邊同時求α階積分,由引理1可得,當t∈J0時,存在常數c1,c2∈,使

(7)

當t∈J1時,存在常數d0,d1∈,使

則

c1-c2t1+I1(u(t1)),

c2+Q1(u(t1)).

故

(t-t1)Q1(u(t1))-c1-c2t,t∈J1.

重復以上步驟,類似可得

(8)

由邊值條件u(0)+u′(0)=0,得c1+c2=0,由(7)可得

由u′(ξ)+u(1)=0和c1+c2=0,可得

將c1、c2代入 (7)、(8),設M=c2,可證得方程(6)．

2 解的存在性

設ξ∈(tl,tl+1),l為非負整數,0≤l≤m.定義T：PC1(J,)→PC1(J,),

由引理6可知,T的不動點是方程(4)的解,下面用Banach壓縮映像原理證明．

定理1(H1)設存在常數L1>0,使得

|φq(f(t,x))-φq(f(t,y))|≤L1|x-y|,

對?t∈J,x,y∈．

(H2)設存在常數L2,L3>0,使得

|Ik(x)-Ik(y)|≤L2|x-y|,|Qk(x)-Qk(y)|≤L3|x-y|,

對?t∈J,x,y∈,k=1,2,…,m.

證明對?x,y∈PC1(J,),有

|(Tx)(t)-(Ty)(t)|≤

(5m-2)L3|x-y|≤

定理2(H3)設φq(f(t,u(t)))：[0,1]×→是連續的,且存在常數N1>0,使得|φq(f(t,u(t)))|≤N1,對?t∈J,u∈．

(H4)設Ik,Qk：→是連續的,且存在常數N2,N3>0,使得|Ik(u)|≤N2,|Qk(u)|≤N3,對?t∈J,u∈,k=1,2,…,m．

當上述條件成立時,方程(4)有一個解．

證明下面用Schauder不動點定理證明T存在不動點．

第一步,證明T是連續的．

設函數列{un}∈PC1(J),且un→u,

|(Tun)(t)-(Tu)(t)|≤

φq(f(s,u(s)))|ds,

第二步,證明T將有界集映成有界集,即T一致有界．

2mN2+(5m-2)N3,

因此有

第三步,證明T是等度連續的．

因此,設t1,t2∈Jk,t1

M|t2-t1|,

所以T(Ωρ)在任意的Jk上是等度連續的,可以得出結論T：PC1(J,)→PC1(J,)是全連續算子．

第四步,證Ω={u∈PC1(J) |u=λTu,0<λ<1}有界．

設u∈Ω,則有u=λTu,0<λ<1,因此對?t∈J,有

由(H3)、(H4)可得,對?t∈J,

2mN2+(5m-2)N3,

因此對?t∈J,有

(5m-2)N3,

即Ω是有界的,由上面的證明,再根據Schauder不動點定理可得,T有一個不動點,也就是方程(4)的解．

3 舉例

方程

(9)

其中,

這里顯然φq(f(t,u)),I,Q都連續,且

1)|φq(f(t,u))|≤1,對?t∈J,u∈;

2)|I|≤3,|Q|≤5,對?u∈．

滿足條件(H3),(H4),由定理2可得,方程(9)有一個解．

分數階微分方程作為整數階微分方程的推廣,具有比整數階微分方程更長遠的發展價值.在眾多學者的努力下,此方面研究取得了很大的進步.但由于脈沖邊值條件的處理難度較大,以及各種新型算子的加入,未來的研究還是具有一定的挑戰性.研究具有p-Laplacian算子的分數階奇異脈沖微分方程邊值問題也存在改進的空間,如果將p-Laplacian算子改為p(t)-Laplacian算子,是一個不錯的研究方向,接下來筆者也將對這個方向展開研究．