基于信息技術的高等數學探究式教學模式研究＊

金 劍

（南京森林警察學院，江蘇南京 210000）

1 探究式教學模式的概念和特點

探究式教學模式是指在教學過程中，學生在教師的啟發和指導下，以周圍生活實際和周圍世界為參照對象，通過以“自主、探究、合作”為特征的學習方式對當前教學內容中的主要知識點進行有目的、有計劃的自主學習，深入探究并進行小組合作交流，學生通過探究的過程自主建構知識體系，并能夠運用所學知識解決實際問題，從而較好地達到課程標準中關于認知目標與情感目標的要求。何克抗教授認為探究教學是指學生通過對學習內容的思考、交流，形成對知識的深層理解，其中教師主要是給學生提供適合的學習資源，從而達到教學的目標。探究式教學模式的特點是以學生為中心，教師精心設計情境教學問題，在問題的驅動下，學生主動、自主探究知識的產生、形成、獲得的過程，充分發揮學生的主觀能動性，發掘學生的創新思維能力和實踐操作能力，讓每一位學生在數學探究教學活動中都得到長足的發展[1]。在探究式教學活動的過程中，教師應更加關注學生是否主動積極參與探索過程，與同學之間的協作交流有無成效，師生之間的探討交流是否形成有效互動等重要問題，學生親身體驗數學知識在探究性教學活動中形成的過程，逐漸培養學生善于發現、善于質疑、善于分析、善于創新的思維能力。

2 信息技術在高等數學探究式教學模式中的應用

通過將信息技術有效地融合進各學科的教學過程來營造一種信息化教學環境，實現一種既能發揮教師主導作用又能充分體現學生主體地位的以‘自主、探究、合作’為特征的教學方式，從而使學生的主動性、積極性、創造性較充分地發揮出來，使傳統的以教師為中心的課堂教學結構發生根本性變革，最終使學生的創新精神與實踐能力的培養真正落到實處。利用信息技術設計科學合理的情境教學問題，教師引導學生主動探究數學概念的產生過程，在探究數學知識的過程中理解數學概念形成的過程，使學生透過現象看數學本質，挖掘數學概念之間的內在聯系，逐步總結歸納抽象事物以及事物之間所蘊含的數學原理以及客觀的數學規律[2]。信息技術的深度運用能夠更好地服務于高等數學探究式教學活動，更好地發揮學生的主觀能動性，將抽象的數學概念以直觀、易于接受的方式呈現給學生。

2.1 豐富的互聯網資源

相較于傳統的單一講授教學模式，高等數學探究式教學模式將信息技術、互聯網數學資源逐步融入課堂教學中，大幅提高教學效果，使學生能全身心地參與到整個探究性教學活動的過程中，對數學知識中所蘊含的數學本質的理解也愈加深刻。隨著互聯網資源的普及以及信息技術日新月異的發展，MOOC、SPOC、微課等多種形式的互聯網教育平臺也得以迅猛發展，學生利用信息技術檢索國內外高等數學相關問題的資料，基于互聯網數學資源展開積極思考，探究分析問題產生的前因后果，同時亦可了解數學的前沿科研成果，便于學生利用互聯網資源開展多種學習形式，不僅僅局限于預習、復習、探究、互動、討論交流、學習拓展、課堂測驗、課后作業等，超越了時間和空間的限制，使學生在問題的深度和廣度上的順利探討有了硬件的保證[3]。通過flash 動畫模擬、動態過程以及視頻播放等形式推進問題驅動下的探究式教學活動，學生可以更加順利地理解抽象事物背后所蘊含的數學概念、原理。例如，在探究導數的幾何意義時，如何運用極限思想，闡述二者在幾何意義上的關系，信息技術flash 動畫模擬在其中扮演了極其重要的角色，動態演示的過程中，動點無限逼近定點時，割線也相應地無限逼近于切線的位置，讓學生直觀地了解割線的極限位置就是切線位置。數學家劉徽為證明圓面積公式創造了割圓術，算出了圓內接正3072 邊形的面積，在割圓術中提到，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，教師利用多媒體信息技術動態演示割圓術，使正多邊形面積近似圓的面積，學生在演示的過程中可以觀察發現，正多邊形的邊數越多，正多邊形的面積越趨近于圓的面積，誤差會越來越小，以至于不可用肉眼觀察到。信息技術在高等數學探究式教學活動中的運用給學生帶來了直觀的數學情境感受，體會到極限這一重要思想，因此“割圓術”可視為中國古代極限觀念的完美展現[4]。

2.2 充分發揮學生的主觀能動性

隨著信息技術的突飛猛進，教師工作者應努力將信息技術應用于高等數學線上線下探究性教學活動中，堅持以學生為中心的教學理念，充分發揮學生的主觀能動性，在課前問題情境設置環節、課堂討論交流、總結歸納環節的設置符合學生的認知發展規律，滿足學生對數學知識的渴望，堅持學生的主體地位不動搖。利用多媒體信息技術描繪函數圖形能夠更加準確無誤，信息技術應用使學生不滿足于僅僅在表層理解數學概念，而是想要更加直觀地理解其原理特征。函數圖形的描繪綜合考查學生對函數單調性、凹凸性、漸近線等的理解，對學生的數學素養提出較高的要求，在信息技術條件下的探究式教學活動離不開多媒體技術的運用，培養學生一絲不茍的精神以及端正的學習態度，發揮學生的主觀能動性[5]。不少學生在理解漸近線的求法的過程中感到困惑，所以，教師引導學生探討水平漸近線的定義和求法時，不妨用多媒體展示如何求解反正切函數的水平漸近線，利用具體的函數探索數學新知識的定義，在學生的最近發展區實現知識探索。學生首先需要找出反正切函數對應的圖像，通過多媒體呈現反正切函數的圖像，悟出如何求出函數的水平漸近線，在數形結合的啟發下，用極限的方法探索函數的水平漸近線，分別令x→+∞，x→-∞，求解出函數的極限，由此發現反正切函數在這兩種情形下都存在極限值，分別是π/2，-π/2，由此得出y=arctanx的兩條水平漸近線分別是y=π/2，y=-π/2。據此，教師引導學生探討求解函數對應曲線的水平漸近線的一般步驟：對于給定的函數，分別求解x→+∞，x→-∞函數的極限值。在探究如何理解垂直漸近線時，不妨鼓勵學生在已有的認知范疇內思考某一函數是否存在垂直漸近線，學生首先發現反比例函數存在垂直漸近線x=0。函數如果存在垂直漸近線，那么x趨于此直線，函數值y應該沿著該直線無限延伸。利用信息技術的多媒體動態演示讓學生由具體函數的垂直漸近線總結歸納出垂直漸近線求解的一般步驟。

2.3 認真完成課前準備

通過認真備課，教師能游刃有余地運用信息技術引導學生進行高等數學探究性學習，厘清前后知識點之間的聯系，明確教學目標、突出教學的重難點，對學生在探究過程中可能出現的提問做好應對準備。教師應結合高等數學知識點的內容設計，貼近學生生活的問題情境，激發學生探究的積極性。教師在課前應做好充足的準備，包括PPT課件的制作，體現數學知識發現、形成、獲得的過程，使關鍵步驟得到重點展示，給學生以生動、清晰、形象動態演示的過程。同時利用互聯網教學資源，搜集與當堂課知識點背景有關的數學史、前沿的科技成果、文獻資料等。

教師也可以采取錄播的手段制作微課視頻，方便學生自主探究學習，教師應選擇合適的錄播教學軟件，視頻畫質清晰、操作簡便、穩定性較強，將抽象的數學知識以直觀的形成呈現出來。SPOC 將線上線下教學相結合，利用網絡的教學資源，如視頻資源、學習資料、測驗練習、交流討論和線上評價記錄等，更好地輔助線下的課堂教學，重構教學流程。SPOC 是使優質資源和課堂教學呈現有機結合的一種線上線下相結合的混合教學模式。選擇合適的教學直播、錄播平臺能有效推進師生之間的討論交流、互動，營造良好的探究性數學課堂氛圍，有助于探究式教學活動的順利開展。

2.4 探究效果的評價

要想檢驗學生在信息技術手段下的高等數學探究式教學模式的學習效果，教師可以采取形式多樣的評價方式。在學生分組討論后，每組派一名學生代表總結探索成果，教師關注每組學生在探討的過程中的表現和積極性，以及學生代表發言的探索成果能否解決問題，教師在此過程中注意觀察學生代表所陳述的數學知識觀點是否存在異議，若存在一些基礎性的理解偏差，可以引導其他組學生對此做出相應的評價和糾正、補充。亦有研究者結合大數據技術，提出了數據驅動的數學核心素養評價模型和方法，基于大數據對數學核心素養持續發展的過程進行追蹤和動態修正。探究效果的評價不僅僅是教師對學生探究問題的學習過程的評價，也是學生之間互相評價、互相協作的契機，既培養了學生合作交流的團隊精神，又提高了學生的質疑能力和創新能力，達到螺旋式上升的認知高度。在高等數學探究式教學活動中，師生之間進行了有效互動，總結歸納出探究過程中所涉及的數學知識點以及知識點的前后聯系與區別，構建一套清晰、全面、科學的高等數學知識結構認知框架[6]。

3 基于信息技術的高等數學探究式教學模式的挑戰

高等數學探究式教學模式雖然在理論上是合乎時代要求的較為先進的教學策略，但是在實踐操作層面仍然面臨著嚴峻的挑戰，也存在一些瑕疵與不足，具體有以下幾個方面。

（1）高等數學知識點繁多，但是課時較短，如何在有限的教學時間內，利用信息技術完成對高等數學知識點的探究，同時兼顧到教學目標、教學任務的完成，對教師在有效教學層面提出了挑戰，同時學生的討論交流時間會有一定的縮減，能否在課堂中高效、完整地完成探究性教學活動，與教師是否選擇了合適的教學策略有關，在探究性教學活動中師生之間的有效互動、學生之間的討論交流以及講授內容面面俱到等方面，教師要根據權重做出選擇。

（2）有部分學生對自身要求不嚴格，學習自律方面較為薄弱，在線上線下課堂中不能及時地思考教師設置的層層遞進的探究性問題，學習節奏上落后于大部分學生，在學習積極性方面需加以引導，在討論交流環節也僅僅是敷于表面，使總結歸納無從談起。因此，需要鼓勵學生在課后利用網絡教學資源，對本節課高等數學知識點進行深挖探究以及適當擴展，搜集和本節課知識點有關的前沿數學科學動態成果。

（3）提升基于信息技術的高等數學探究式教學教育質量的一種有效教學組織形式—小班化教學，是推進高等數學探究式教學高質量發展的關鍵舉措。小班化教學有利于學生個性的發展和創造性的培養，有利于促進師生交往，有利于促進教學公平。采用小班化教學有助于教師與學生之間有更多互動，學生在課堂上有更多的機會參與到猜想假設、討論交流、檢驗證明、總結歸納等過程中，教師可以兼顧到每位學生的學習進展，了解是否都已經完成探究式教學活動的階段任務，讓每位學生都能在高等數學課堂中得到充分的發展[7]。但是數學教研室教師人數少，而全校的高等數學公共基礎課繁多，難以滿足小班化教學的需求。因此，多數情況下，小班化教學終究只能淪為紙上談兵，無法應用于實際。希望在未來，該教學方法能夠得到有效改善，從而充分發揮其優勢作用。