立足核心素養(yǎng)實(shí)現(xiàn)初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有效銜接的探究

常慎義

摘? ?要：新課標(biāo)的育人目標(biāo)就是立德樹人，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。立足核心素養(yǎng)，開展初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效銜接研究是立德樹人的重要環(huán)節(jié)。從初中到高中，數(shù)學(xué)教學(xué)既提升了學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的抽象程度，從感性到理性加深了數(shù)學(xué)思維的廣度與深度，又從難度和靈活度上提高了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算思維能力的要求，同時(shí)還對(duì)其學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)效率有了更高的要求。學(xué)習(xí)過程是不斷突破自我、提升自我的過程，因此當(dāng)學(xué)習(xí)遇到障礙或者瓶頸時(shí)，一定要在學(xué)習(xí)認(rèn)知、行為方式上做深刻反思和改變，只有這樣才能不斷突破不斷進(jìn)步。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué);立德樹人;核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)語(yǔ)言;數(shù)學(xué)思維

中圖分類號(hào)：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? 文章編號(hào)：1009-010X（2023）26-0004-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出核心素養(yǎng)的構(gòu)成主要是會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2020年修訂版）》明確提出數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。因此立足核心素養(yǎng)，開展初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效銜接研究是非常有必要的。

一、提升數(shù)學(xué)語(yǔ)言的抽象程度

會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，就是對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)教育就是將實(shí)際問題抽象概括為數(shù)學(xué)語(yǔ)言或者建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而運(yùn)用邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算或者數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)思維去表達(dá)處理。初中數(shù)學(xué)教學(xué)更直觀、形象、通俗，即通過淺顯的方式表述，對(duì)深度學(xué)習(xí)的要求不高。而高一數(shù)學(xué)則出現(xiàn)了集合語(yǔ)言、函數(shù)語(yǔ)言、邏輯語(yǔ)言等抽象表達(dá)，這給高一學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)了很大的跨度，在認(rèn)知和知識(shí)的接受程度上也有了一定的障礙。解決這一問題的辦法：一是通過直觀事例，二是追根溯源，對(duì)接初中數(shù)學(xué)原有的知識(shí)。比如已知函數(shù)f（2x+1）的定義域?yàn)閤∣x≥1，求f（3-x）的定義域。教材明確“自變量的取值范圍叫做函數(shù)的定義域”，當(dāng)問f（2x+1）的自變量是什么？很多學(xué)生會(huì)回答2x+1，如果問f（2x+1）=的自變量是什么？還是有部分學(xué)生回答2x+1，有部分學(xué)生回答x，但是如果問函數(shù)y=的自變量是什么？幾乎所有學(xué)生都能回答正確是x，通過具體例子，可以引導(dǎo)學(xué)生更好地深度學(xué)習(xí)。再比如函數(shù)的奇偶性，普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)（2019人教A版），通過觀察函數(shù)f（x）=x2和 g（x）=2-x圖像和數(shù)學(xué)運(yùn)算，然后通過數(shù)學(xué)直觀和不完全歸納，可得出偶函數(shù)的定義：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果? x∈D，都有

-x∈D且f（-x）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)。偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，但是怎么更好地理解“函數(shù)f（x）滿足表達(dá)式f（-x）=f（x），f（x）圖像就關(guān)于y軸對(duì)稱呢？一般的軸對(duì)稱表達(dá)式又與偶函數(shù)有什么關(guān)聯(lián)呢？”是個(gè)難題。如果我們能將其與初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)（北師大版）軸對(duì)稱的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，并構(gòu)造兩個(gè)點(diǎn)A（x，f（x））和B（-x，f（-x）），AB兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和是常數(shù)0，縱坐標(biāo)相等，所以AB兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，又因?yàn)? x∈D，所以函數(shù)f（x）的圖像就關(guān)于y軸對(duì)稱;如果A（a+x，f（a+x）），B（a-x，f（a-x）），那么AB兩點(diǎn)關(guān)于x=a對(duì)稱，又因?yàn)? x∈D，所以如果函數(shù)f（x）滿足表達(dá)式f（a+x）=f（a-x），那么該函數(shù)圖像就關(guān)于x=a軸對(duì)稱。這樣初高中的知識(shí)就建立了聯(lián)系，學(xué)生對(duì)其的理解也會(huì)更深刻一些，也更容易接受新知識(shí)。

二、加深數(shù)學(xué)思維的廣度與深度

會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，就是對(duì)邏輯推理素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)。立體幾何作為平面幾何的延續(xù)，在解釋立體幾何問題時(shí)，如果能夠和平面幾何的知識(shí)建立聯(lián)系，學(xué)生的理解會(huì)更通透，從二維幾何到三維幾何的過渡也會(huì)更自然，更容易讓學(xué)生接受。比如對(duì)立體幾何中棱柱的側(cè)面是平行四邊形這一問題的解釋，普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)（2019人教A版）對(duì)棱柱的定義是：一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。而多面體的定義是：一般地，由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體就叫做多面體。初中平行線的定義：若兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，我們稱這兩條直線為相交直線。在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線互相平行。由多面體的定義可知側(cè)面ABB′A′是平面圖形，由棱柱定義可知AA′∥BB′，且AB與A′B′沒有公共點(diǎn)，再結(jié)合初中平行線的定義可知AB∥A′B′，所以棱柱的側(cè)面是平行四邊形。再比如，如下圖所示，該幾何體是由兩個(gè)全等的直四棱柱相嵌而成的，且前后、左右、上下均對(duì)稱，兩個(gè)四棱柱的側(cè)棱互相垂直，已知該幾何體外接球的體積為8π，四棱柱的底面是正方形，且側(cè)棱長(zhǎng)為4，則兩個(gè)直四棱柱公共部分幾何體的內(nèi)切球體積為（? ?）

A.π? B.π? ?C.π? ?D.π

本題典型考查學(xué)生的直觀想象能力。公共部分內(nèi)切球的直徑就是直四棱柱底面正方形的邊長(zhǎng)，其對(duì)學(xué)生思維廣度和深度的要求是非常高的。

三、提高對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算思維能力的要求

會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，就包含對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2020年修訂版）》明確數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)，主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等。初中對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算思維和能力的要求比較低，更多地是要求其會(huì)運(yùn)用算理和法則進(jìn)行基本運(yùn)算。高中則從難度和靈活度上提高了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算思維能力的要求，尤其對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算速度和數(shù)學(xué)運(yùn)算技巧有了更高的要求，即學(xué)生能夠有效借助數(shù)學(xué)運(yùn)算解決問題。比如因式分解，初中對(duì)因式分解的要求主要是提公因式法、公式法，而如果掌握了十字相乘法，甚至因式分解定理、試根法、多項(xiàng)式相除法、雙十字相乘法，在高中數(shù)學(xué)中處理相關(guān)題目，速度會(huì)更快，解決問題的方法也更靈活。例如，2020年全國(guó)新高考1卷（山東）第22題第（2）小問的解答中，由

（k2+1）+（km-k-2）-+（m-1）2+4=0

得到4k2+8km+3m2-2m-1=0，經(jīng)化簡(jiǎn)整理可得（2k+3m+1）（2k+m-1）=0.

但如果采用以下方法則更容易因式分解。

方法一：把4k2+8km+3m2-2m-1=0看作關(guān)于k的二次多項(xiàng)式，再用十字相乘法因式分解：

2k? ? ? ? ? ? 3m+1

2k? ? ? ? ? ? m-1

得到（2k+3m+1）（2k+m-1）=0.

方法二：用雙十字相乘法：

2k? ? ? ? ? ?3m? ? ? ? ? ? 1

2k? ? ? ? ? ? m? ? ? ? ? ? -1

得到（2k+3m+1）（2k+m-1）=0.

總之，想要適應(yīng)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)運(yùn)算的要求，除了要在高中學(xué)習(xí)過程中不斷提升數(shù)學(xué)運(yùn)算思維和能力外，還要將初中的知識(shí)和一些運(yùn)算方法做一些拓展和深度學(xué)習(xí)，這是立足數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，做好初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有效銜接的重要一環(huán)。

四、對(duì)學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)效率有更高要求

初高中銜接的重要一環(huán)就是學(xué)習(xí)行為方式的轉(zhuǎn)變與學(xué)習(xí)效率的提高。有許多高一新生，初中數(shù)學(xué)成績(jī)并不差甚至是比較優(yōu)秀的，但進(jìn)入高中學(xué)習(xí)后，數(shù)學(xué)成績(jī)卻一落千丈，究其原因主要是不適應(yīng)高中學(xué)習(xí)節(jié)奏，學(xué)習(xí)方式?jīng)]有及時(shí)轉(zhuǎn)變，學(xué)習(xí)效率比較低等導(dǎo)致的。

對(duì)此，首先應(yīng)迅速提升學(xué)習(xí)節(jié)奏，深度學(xué)習(xí)所學(xué)內(nèi)容。初中的學(xué)習(xí)節(jié)奏慢，對(duì)知識(shí)內(nèi)容理解的深度要求比較低，因此應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的難度也比較低。而高中則相反，相對(duì)于初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說，其學(xué)習(xí)節(jié)奏快很多，對(duì)知識(shí)內(nèi)容理解的深度也比較高，尤其是概念的抽象性，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題也比較靈活，難度也比較大。因此高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加注重知識(shí)背景、知識(shí)生成的過程，即知識(shí)是什么，知識(shí)怎么用。只有重視數(shù)學(xué)知識(shí)在解決問題中的工具作用，才能更好地運(yùn)用知識(shí)解決問題。

其次，高中生要不斷提高自學(xué)能力。初中生的預(yù)習(xí)，往往是看看課本，了解下一節(jié)要講什么內(nèi)容。而高中生則要有自學(xué)意識(shí)，并不斷提高自學(xué)能力。即通過靜心閱讀教材和學(xué)習(xí)資料，提高閱讀理解能力進(jìn)而提升審題能力。同時(shí)通過做一部分同步練習(xí)，檢測(cè)自己對(duì)教材的理解和掌握情況，以找準(zhǔn)本節(jié)課的難點(diǎn)、疑惑點(diǎn)，如此可為課堂聽課做好充分的課前準(zhǔn)備，并提升課堂學(xué)習(xí)效率。

再次，改變糾錯(cuò)方式，糾錯(cuò)關(guān)鍵看的是糾錯(cuò)的效率和效果。初中生往往很認(rèn)真地把錯(cuò)題的原題和解析整理到錯(cuò)題本上，甚至用彩筆圈圈點(diǎn)點(diǎn)，很規(guī)范，也很美觀，這是中小學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)。但經(jīng)調(diào)查卻發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生的錯(cuò)題本一學(xué)期沒有翻看幾次，甚至整理的過程也有很多抄課堂筆記或者記憶的成分，這種學(xué)習(xí)方式適應(yīng)節(jié)奏慢的初中學(xué)習(xí)，即糾錯(cuò)的效率比較低。高中用“錯(cuò)題重做”的方法，糾錯(cuò)效率會(huì)更高。即一些錯(cuò)題，感覺聽懂了，會(huì)了，就要在第二天或者過幾天拿出來(lái)，當(dāng)作一道新題目，從題目條件聯(lián)系相關(guān)知識(shí)重新審題，然后獨(dú)立、迅速解決這一問題，做后還需要做進(jìn)一步研究、總結(jié)，以提升理解的深度，甚至舉一反三，最后過幾天再重新做一次，以真正糾正錯(cuò)誤的思考習(xí)慣。如此既可提升學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解程度，又可幫助學(xué)生體會(huì)知識(shí)的應(yīng)用，沉淀學(xué)習(xí)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。