習(xí)題課教學(xué)中的思想滲透
——一種新型習(xí)題課教學(xué)的嘗試與思考

陳春生 柴明明

(六安市第二中學(xué)河西校區(qū) 安徽六安 237000)

習(xí)題課教學(xué)是高三后期課堂教學(xué)的重要組成部分,如何在習(xí)題課教學(xué)中提升學(xué)生思維是高三教師頭疼的問題。常規(guī)的課堂教學(xué)形式是學(xué)生做試卷,然后教師批改,再進(jìn)行有針對性的講解,通過大量的訓(xùn)練對題型和解題技巧進(jìn)行總結(jié)和鞏固。但結(jié)果往往是學(xué)生在題海中日漸憔悴,教師在重復(fù)的講解中喪失激情,關(guān)鍵是學(xué)生再次遇到類型相同而稍加變形的題目時(shí)依然手足無措,最后只能在高考中留下遺憾。

本學(xué)期為了加強(qiáng)習(xí)題教學(xué)中的思想引領(lǐng),讓學(xué)生在習(xí)題的講解中得到更多思維上的提升,筆者采取了一種新型的課堂形式——難師,即由一位學(xué)生提供一道題,教師在課上與其他同學(xué)一起解決這道題。采取這種課堂形式并不是為了展示教師解題的能力多么高超,而是要通過師生一起做題達(dá)到三個(gè)目的:第一,幫助學(xué)生在遇到陌生的問題時(shí)就如何分析問題找到切入點(diǎn);第二,在分析問題的過程中了解學(xué)生的想法以及思維障礙,從而精準(zhǔn)解答;第三,在互動(dòng)的過程中幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣,即認(rèn)真審題—變形突破—總結(jié)反思。下面以兩節(jié)課堂實(shí)錄為例來談?wù)劸唧w做法。

一、課堂實(shí)錄

圖1-1

筆者與學(xué)生一起讀題并畫出大致圖像后,給了學(xué)生兩分鐘時(shí)間思考,接著提出問題。

問1:本題的哪些條件很關(guān)鍵,是本題的“題眼”?你從這些條件中可以推導(dǎo)出哪些信息?

學(xué)生A:過F2作圓O:x2+y2=a2的切線和|PF2|>2|TF2|這兩個(gè)條件很關(guān)鍵。由第一個(gè)條件可以從圖形中發(fā)現(xiàn)一個(gè)特殊的直角三角形,三條邊長分別為a,b,c,且T在漸近線上。第二個(gè)條件我不知道怎么用。

問2:學(xué)生A的觀察很敏銳,這個(gè)特殊的直角三角形應(yīng)該是解決問題的一把利刃。針對A同學(xué)的困惑,我們?yōu)榱颂幚聿坏汝P(guān)系往往借助等量關(guān)系,不等關(guān)系是一種一般性關(guān)系,而等量關(guān)系是一種特殊性關(guān)系,我們遵循“從特殊到一般”的原則,應(yīng)選取哪個(gè)特殊值作為我們的研究對象?

學(xué)生B:應(yīng)該是|PF2|=2|TF2|,我覺得此時(shí)求出的值應(yīng)該是離心率的一個(gè)臨界值。

教師:B同學(xué)有很好的解題直覺,請大家求出這種特殊情況下離心率的值。

(五分鐘之后)

教師:C同學(xué)充分利用圖形的幾何特征得到了a,b,c的等量關(guān)系,且簡潔明了,把幾何法的優(yōu)點(diǎn)展現(xiàn)得淋漓盡致,很好!解析幾何本質(zhì)上還是幾何,我們平時(shí)在解題的過程中要注意聯(lián)系圖像,由此可能會(huì)收到意想不到的效果。

問3:解析幾何中我們常常用兩種方法來處理問題——幾何法和坐標(biāo)法,請大家繼續(xù)思考在這種情況下能否用坐標(biāo)法的思想來求出離心率。

問4:求出了離心率的臨界值之后,如何通過不等關(guān)系來確定離心率的范圍呢?在這種情況下由于a,b,c都不確定,|PF2|,|PF1|的比值變化對其離心率有何影響呢?

教師:剛才我們已經(jīng)利用特殊值法選出了正確的選項(xiàng),請大家思考剛才的解法是否具有一般性。我們能否“乘勝追擊”,將|PF2|=2|TF2|的特殊情況推廣到|PF2|>2|TF2|的一般情況呢?

剛才的解法主要考慮的是T為PF2的中點(diǎn)的情形,想要一般化較為困難,此時(shí)學(xué)生遇到思維障礙。這時(shí)教師應(yīng)適當(dāng)點(diǎn)撥,讓學(xué)生撥開表象發(fā)現(xiàn)本質(zhì)。

教師:剛才大家可能會(huì)被“中點(diǎn)”這個(gè)信息所蒙蔽,我們不妨再假設(shè)另一種特殊情況,即|PF2|=3|TF2|,求此時(shí)離心率的值。大家在解答的過程中看能否找出隱藏在背后的通法。

圖1-2

教師:剛才兩位同學(xué)的解法各有千秋,請大家將這兩種方法推廣到更一般的情形,即|PF2|=λ|TF2|。

由λ=3,學(xué)生便能得出一般情形下的解法,不一會(huì)兒兩位同學(xué)便分享了他們的解法。

教師:解題之后進(jìn)行反思是促進(jìn)思維提升的一種良好習(xí)慣,從本題的解答中我們不僅要掌握解決選擇題的常用方法——特殊值法,更要挖掘特殊值背后的一般性規(guī)律,感受從特殊到一般的思想,當(dāng)然本題當(dāng)中涉及的數(shù)形結(jié)合、坐標(biāo)法的思想也是大家需要提煉總結(jié)的。

從特殊到一般的思想、數(shù)形結(jié)合的思想的掌握并不是靠一節(jié)課的學(xué)習(xí)就能實(shí)現(xiàn)的,關(guān)鍵是在平時(shí)的課堂中要把握住契機(jī)。比如從特殊到一般的思想在求參數(shù)范圍、利用方程組法求解析式、求數(shù)列的通項(xiàng)、求和公式中都有廣泛的應(yīng)用。在這些習(xí)題的講解中,學(xué)生透過特殊值的表象看透一般規(guī)律的本質(zhì),思想的種子在這樣的土壤中生根發(fā)芽。

圖2-1

題目給出的信息很少,讀完題目后筆者留給學(xué)生三分鐘左右的思考時(shí)間。

教師:哪位同學(xué)能分析一下本題的切入點(diǎn)在哪里?

教師:A同學(xué)從形的角度闡述了三角形的變化特征,請大家沿著他的思路來計(jì)算。

筆者在巡視的過程中發(fā)現(xiàn)許多同學(xué)還是無從下筆,便繼續(xù)追問。

教師:現(xiàn)在計(jì)算的難點(diǎn)在什么地方?

學(xué)生(齊答):不知道怎么設(shè),未知量太多。

教師:回到圖形當(dāng)中,我們剛才已經(jīng)看出b,c的變化主要受到垂線段移動(dòng)的影響,那么a能否變化?它的變化對圖像有什么影響呢?

教師:B同學(xué)回答得很好,a控制著整體的變化,h控制著局部的變化。請大家根據(jù)B同學(xué)提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。

學(xué)生D:高AD可以滑動(dòng)到線段BC的兩側(cè),所以C的答案不嚴(yán)謹(jǐn)。

圖2-2

學(xué)生(齊答):不能,此時(shí)b,c都在增大。

五分鐘后不少同學(xué)舉手表示算出了答案,筆者便請其中的一位同學(xué)回答。

教師:非常好,E同學(xué)邏輯清晰,計(jì)算準(zhǔn)確,完美地解決了本題。

筆者正準(zhǔn)備對該題進(jìn)行總結(jié)的時(shí)候,忽然有一位同學(xué)舉手提問。

同學(xué)F:老師以前總結(jié)過解三角形中的范圍問題,大多數(shù)時(shí)候都可以通過邊角互換轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的范圍問題,這題能不能也按照這樣的思路解決呢?

教師:F同學(xué)給出了很好的方向,大家嘗試按照她的思路來解題。

學(xué)生(齊答):高為1還沒有用。

教師:高與三角形中的哪個(gè)量有關(guān)?角是否也與這個(gè)量有關(guān)?能利用這種關(guān)系幫助轉(zhuǎn)化嗎?

教師:很好。利用角的方法如此簡潔,讓我們再次體會(huì)解三角形的兩把利刃——數(shù)形結(jié)合、邊角互換,在變化的圖形中找到運(yùn)動(dòng)規(guī)律的不變性、用同一個(gè)角的三角函數(shù)值表示不同的邊,進(jìn)而將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。

數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想是解決數(shù)學(xué)問題時(shí)的常用思想,尤其是在向量、解三角形、解析幾何中,教師要時(shí)常從數(shù)和形兩個(gè)角度帶領(lǐng)學(xué)生分析問題,多問一問:“能不能從不同的角度觀察和思考這道題?”而不是就題論題。

二、習(xí)題課教學(xué)的一些建議

在全面實(shí)施新教程新課改的背景下,數(shù)學(xué)試題的難度、靈活度越來越大,按部就班的講題模式很難發(fā)揮課堂的最大效率。通過一段時(shí)間的摸索與嘗試,筆者對習(xí)題課教學(xué)提出以下建議。

(一)講套路更要講思想

數(shù)學(xué)中的習(xí)題大多都有套路,講題的過程中也必然會(huì)講解一些重要題型的套路,但是如果教師直接將套路強(qiáng)行灌輸給學(xué)生,就會(huì)使學(xué)生的思維得不到發(fā)展,長期下去學(xué)生會(huì)覺得數(shù)學(xué)很“玄”。教師在講題的過程中應(yīng)該講清套路背后蘊(yùn)藏了哪些思想,只有這樣學(xué)生才能理解套路、掌握套路。

比如在講解“已知f(x)-2f(-x)=x2+3x,求f(x)解析式”題目時(shí),許多教師會(huì)向?qū)W生介紹分別代入x,-x后解方程組的方法,學(xué)生如果不理解其背后的思想,只會(huì)聽得云里霧里,覺得方法用得莫名其妙。為此應(yīng)該滲透從特殊到一般的思想,先求f(1),f(-1)再總結(jié)方法,讓學(xué)生經(jīng)歷方法的形成過程,這樣理解才更透徹,記憶才更深刻。

(二)通過變式深入核心

在平時(shí)的習(xí)題教學(xué)中,教師要思考題目考查的背景是什么,要提升學(xué)生哪方面的能力,不能僅僅局限于把題目講完,盲目地追求數(shù)量。教師要多對題目進(jìn)行變式,通過變換題目中的條件或結(jié)論,改變問題的表達(dá)形式或內(nèi)容。這些與原題形似的變式題可以讓學(xué)生觸碰到問題的本質(zhì),從而更加深刻地理解問題,提升解題質(zhì)量。

比如在基本不等式的教學(xué)中會(huì)有這樣的習(xí)題:

若x,y>0,x+y=xy,求x+y,xy的范圍。

教師可以設(shè)計(jì)如下變式:

變式1:若x,y>0,2x+8y=xy,求xy,x+y的范圍。

變式2:x>1,y>2,2x+y=xy+1,求xy,x+y的范圍。

變式1可以強(qiáng)化學(xué)生對基本不等式三個(gè)條件的理解,變式2可以滲透函數(shù)的主元思想。

(三)關(guān)注學(xué)生

蘇霍姆林斯基說:“時(shí)刻都不忘記自己也曾是個(gè)孩子。”在課堂教學(xué)過程中教師也應(yīng)該站在學(xué)生的視角,關(guān)注學(xué)生一方面是指講題時(shí)關(guān)注學(xué)生的解題情況:學(xué)生解題的策略是什么?為什么沒有堅(jiān)持下去?學(xué)生遇到的障礙是什么?教師要在心理上完成身份轉(zhuǎn)換,不能一味地站在自身的角度思考問題、講解問題,要解決學(xué)生心中的困惑,幫助學(xué)生突破思維障礙。比如上面的變式1中,學(xué)生可能會(huì)兩次運(yùn)用基本不等式求x+y的范圍,并且搞不清楚錯(cuò)在哪里。教師應(yīng)該關(guān)注到學(xué)生的難點(diǎn),從而加深學(xué)生對基本不等式相等條件的理解。

關(guān)注學(xué)生另一方面是指讓學(xué)生參與到解題活動(dòng)中來。新課標(biāo)下的課堂觀是學(xué)生主體、教師主導(dǎo),基于此,教師要注重學(xué)生掌握知識(shí)的心理過程,強(qiáng)調(diào)理解性學(xué)習(xí),促使學(xué)生積極開展智力活動(dòng),訓(xùn)練思維,提高能力。在講題的過程中經(jīng)常會(huì)遇到一些題講過多次,但是學(xué)生依舊出錯(cuò)的情況,主要原因就是忽略了學(xué)生的參與。比如概率題(或應(yīng)用題),我們帶著學(xué)生分析題目,學(xué)生會(huì)感到很簡單,但是一到考試還是不會(huì)。其實(shí)我們可以讓學(xué)生讀完題目之后,用自己的話把題目復(fù)述一遍,在參與的過程中學(xué)生自然就會(huì)對題目的條件理解得更加深刻,也就更容易將問題抽象成數(shù)學(xué)語言。再如教學(xué)立體幾何時(shí),教師可以讓學(xué)生將筆作為直線、紙作為面,動(dòng)一動(dòng),轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn),想一想,在一次次動(dòng)手操作中逐漸培養(yǎng)學(xué)生的空間直觀想象能力,充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。只要教師加以引導(dǎo),效果自然事半功倍。學(xué)生充分地參與到解題過程中,發(fā)揮思維的主動(dòng)性,比被動(dòng)接受印象更深刻,掌握更多的思想方法并提高遷移能力。

三、結(jié)語

教之道在于“度”,學(xué)之道在于“悟”,習(xí)題課教學(xué)并不是教師全程和盤托出的“一言堂”,也不是盲目地讓學(xué)生進(jìn)行題型和套路的總結(jié)。新型的習(xí)題課教學(xué)要求教師注重與學(xué)生一起分析題意,交流解題思路,鼓勵(lì)學(xué)生大膽說出自己的解題思路,了解其思維障礙,然后在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)給予點(diǎn)撥。解題后要帶領(lǐng)學(xué)生回顧解題過程,總結(jié)“題眼”的發(fā)現(xiàn)過程、障礙的突破過程、思想的升華過程,在這樣的實(shí)踐中提高學(xué)生的讀題審題能力、遇到困難問題時(shí)的轉(zhuǎn)化化歸能力,從而讓習(xí)題課變成學(xué)生能力素養(yǎng)提高的源泉。

總而言之,習(xí)題課的教學(xué)目標(biāo)是幫助學(xué)生掌握知識(shí),發(fā)展思維,提升能力,并不是僅僅讓學(xué)生弄懂問題,教師要在講題的過程中及時(shí)發(fā)現(xiàn)疑難和困惑,并不斷地調(diào)整習(xí)題課教學(xué)中的不足,提升自己的專業(yè)素養(yǎng)和教學(xué)藝術(shù),從而讓課堂成為能夠開闊學(xué)生的思維、啟發(fā)學(xué)生的思想、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的“沃土”。